Question

【題目】如圖，已知矩形ABCD的兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)A作AG⊥BD分別交BD、BC于點(diǎn)G、E．
（1）求證：BE2=EGEA；
（2）連接CG，若BE=CE，求證：∠ECG=∠EAC．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠ABC=90°，

∵AE⊥BD，

∴∠ABC=∠BGE=90°，

∵∠BEG=∠AEB，

∴△ABE∽△BGE，

∴ ，

∴BE2=EGEA

（2）證明：由（1）證得BE2=EGEA，

∵BE=CE，

∴CE2=EGEA，

∴ = ，

∵∠CEG=∠AEC，

∴△CEG∽△AEC，

∴∠ECG=∠EAC

【解析】（1）由四邊形ABCD是矩形，得到∠ABC=90°，得到∠ABC=∠BGE=90°，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（2）由（1）證得BE2=EGEA，推出△CEG∽△AEC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了矩形的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握矩形的四個(gè)角都是直角，矩形的對(duì)角線相等；相似三角形的一切對(duì)應(yīng)線段(對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方才能正確解答此題．