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【題目】如圖所示,四邊形ABCD是正方形,MAB延長線上一點.直角三角尺的一條直角邊經過點D,且直角頂點EAB邊上滑動(點E不與點A、B重合),另一直角邊與∠CBM的平分線BF相交于點F

1)如圖1,當點EAB邊得中點位置時:

通過測量DE、EF的長度,猜想DEEF滿足的數量關系是

連接點EAD邊的中點N,猜想NEBF滿足的數量關系是 ,請證明你的猜想.

2)如圖2,當點EAB邊上的任意位置時,猜想此時DEEF有怎樣的數量關系,并證明你的猜想.

【答案】(1)①DE=EF;②NE=BF;理由見解析;(2)DE=EF,理由見解析.

【解析】試題分析:(1)根據正方形的性質及N,E分別為AD,AB的中點可得DN=EB,再根據角平分線的性質及AN=AE可得∠DNE=∠EBF=135°,從而可證得△DNE≌△EBF,繼而證得結論;

(2)在DA邊上截取DN=EB,連結NE,點N就使得NE=BF成立,由DN=EB可得AN=AE,根據角平分線的性質可得∠DNE=∠EBF=90°+45°=135°,通過證△DNE≌△EBF,從而得結論.

(1)①DE=EF;②NE=BF;理由如下:

∵四邊形ABCD為正方形,∴AD=AB,∠DAB=∠ABC=90°,∵N,E分別為AD,AB中點,

∴AN=DN=AD,AE=EB=AB,∴DN=BE,AN=AE,∵∠DEF=90°,∴∠AED+∠FEB=90°,

又∵∠ADE+∠AED=90°,∴∠FEB=∠ADE,又∵AN=AE,∴∠ANE=∠AEN,又∵∠A=90,∴∠ANE=45°,∴∠DNE=180°﹣∠ANE=135°,又∵∠CBM=90°,BF平分∠CBM,

∴∠CBF=45°,∠EBF=135°,在△DNE和△EBF中, ∴△DNE≌△EBF(ASA),∴DE=EF,NE=BF.

(2)DE=EF,理由如下:

在DA邊上截取DN=EB,連接NE,∵四邊形ABCD是正方形,DN=EB,∴AN=AE,∴△AEN為等腰直角三角形,∴∠ANE=45°,∴∠DNE=180°﹣45°=135°,∵BF平分∠CBM,AN=AE,∴∠EBF=90°+45°=135°,∴∠DNE=∠EBF, ∵∠NDE+∠DEA=90°,∠BEF+∠DEA=90°,∴∠NDE=∠BEF,在△DNE和△EBF中,∴△DNE≌△EBF(ASA), ∴DE=EF.

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