Question

【題目】如圖所示，四邊形ABCD是正方形，M是AB延長線上一點．直角三角尺的一條直角邊經過點D，且直角頂點E在AB邊上滑動（點E不與點A、B重合），另一直角邊與∠CBM的平分線BF相交于點F．

（1）如圖1，當點E在AB邊得中點位置時：

①通過測量DE、EF的長度，猜想DE與EF滿足的數量關系是 ．

②連接點E與AD邊的中點N，猜想NE與BF滿足的數量關系是 ，請證明你的猜想．

（2）如圖2，當點E在AB邊上的任意位置時，猜想此時DE與EF有怎樣的數量關系，并證明你的猜想．

Answer 1

【答案】（1）①DE=EF；②NE=BF；理由見解析；（2）DE=EF，理由見解析.

【解析】試題分析：（1）根據正方形的性質及N，E分別為AD，AB的中點可得DN=EB，再根據角平分線的性質及AN=AE可得∠DNE=∠EBF=135°，從而可證得△DNE≌△EBF，繼而證得結論；

（2）在DA邊上截取DN=EB，連結NE，點N就使得NE=BF成立，由DN=EB可得AN=AE，根據角平分線的性質可得∠DNE=∠EBF=90°+45°=135°，通過證△DNE≌△EBF，從而得結論.

（1）①DE=EF；②NE=BF；理由如下：

∵四邊形ABCD為正方形，∴AD=AB，∠DAB=∠ABC=90°，∵N，E分別為AD，AB中點，

∴AN=DN=AD，AE=EB=AB，∴DN=BE，AN=AE，∵∠DEF=90°，∴∠AED+∠FEB=90°，

又∵∠ADE+∠AED=90°，∴∠FEB=∠ADE，又∵AN=AE，∴∠ANE=∠AEN，又∵∠A=90，∴∠ANE=45°，∴∠DNE=180°﹣∠ANE=135°，又∵∠CBM=90°，BF平分∠CBM，

∴∠CBF=45°，∠EBF=135°，在△DNE和△EBF中， ∴△DNE≌△EBF（ASA），∴DE=EF，NE=BF．

（2）DE=EF，理由如下：

在DA邊上截取DN=EB，連接NE，∵四邊形ABCD是正方形，DN=EB，∴AN=AE，∴△AEN為等腰直角三角形，∴∠ANE=45°，∴∠DNE=180°﹣45°=135°，∵BF平分∠CBM，AN=AE，∴∠EBF=90°+45°=135°，∴∠DNE=∠EBF， ∵∠NDE+∠DEA=90°，∠BEF+∠DEA=90°，∴∠NDE=∠BEF，在△DNE和△EBF中，∴△DNE≌△EBF（ASA）， ∴DE=EF．