Question

已知：直角梯形OABC中，BC∥OA，∠AOC=90°，以AB為直徑的圓M交OC于D、E，連接AD、BD．直角梯形OABC中，以O為坐標原點，A在x軸正半軸上建立直角坐標系，若拋物線y=ax²-2ax-3a（a＜0）經過點A、B、D，且B為拋物線的頂點．
①寫出頂點B的坐標（用a的代數(shù)式表示）______．
②求拋物線的解析式．
③在x軸下方的拋物線上是否存在這樣的點P：過點P做PN⊥x軸于N，使得△PAN與△OAD相似？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：①首先求得對稱軸，即是點B的橫坐標，代入解析式即可求得點B的縱坐標，問題得以解決；
②由△OAD∽△CDB，得出對應線段的比相同求得a的值即可；
③利用三角形相似，等腰三角形的性質，二次函數(shù)圖象上點的坐標特征以及連點之間的距離解答即可．
解答：解：①函數(shù)y=ax²-2ax-3a的對稱軸x=1，代入解析式可得y=-4a，
所以頂點坐標為（1，-4a）；
故答案為（1，-4a）；

②∵∠BCD=∠AOD=90°，
∠CBD+∠BDC=∠ADO+∠BDC=90°，
即∠CBD=∠ADO，
∴△OAD∽△CDB，
∴，
∵ax²-2ax-3a=0，可得A（3，0），
又OC=-4a，OD=-3a，CD=-a，CB=1，
∴，
∴a²=1，
∵a＜0，
∴a=-1，
故拋物線的解析式為：y=-x²+2x+3．

③存在，設P（x，-x²+2x+3），
∵△PAN與△OAD相似，且△OAD為等腰三角形，
∴PN=AN，當x＜0（x＜-1）時，
-x+3=-（-x²+2x+3），
x₁=-2，x₂=3（舍去），
∴P（-2，-5），
當x＞0（x＞3）時，
x-3=-（-x²+2x+3），
x₁=0，x₂=3（都不合題意舍去），
符合條件的點P為（-2，-5）．
點評：此題考查二次函數(shù)的頂點坐標，三角形相似的判定與性質，以及二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，是一道較好的題目．