Question

【題目】如圖，以△ABC的邊AB為直徑的⊙O與邊AC相交于點D，BC是⊙O的切線，E為BC的中點，連接AE、DE．

（1）求證：DE是⊙O的切線；

（2）設(shè)△CDE的面積為 S1，四邊形ABED的面積為 S2．若 S2＝5S1，求tan∠BAC的值；

（3）在（2）的條件下，若AE＝3，求⊙O的半徑長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）tan∠BAC＝；（3）⊙O的半徑＝2．

【解析】

（1）連接DO，由圓周角定理就可以得出∠ADB=90°，可以得出∠CDB=90°，根據(jù)E為BC的中點可以得出DE=BE，就有∠EDB=∠EBD，OD=OB可以得出∠ODB=∠OBD，由等式的性質(zhì)就可以得出∠ODE=90°就可以得出結(jié)論．

（2）由S2=5 S1可得△ADB的面積是△CDE面積的4倍，可求得AD：CD=2：1，可得．則tan∠BAC的值可求；

（3）由（2）的關(guān)系即可知，在Rt△AEB中，由勾股定理即可求AB的長，從而求⊙O的半徑.

解：（1）連接OD，

∴OD＝OB

∴∠ODB＝∠OBD．

∵AB是直徑，

∴∠ADB＝90°，

∴∠CDB＝90°．

∵E為BC的中點，

∴DE＝BE，

∴∠EDB＝∠EBD，

∴∠ODB+∠EDB＝∠OBD+∠EBD，

即∠EDO＝∠EBO．

∵BC是以AB為直徑的⊙O的切線，

∴AB⊥BC，

∴∠EBO＝90°，

∴∠ODE＝90°，

∴DE是⊙O的切線；

（2）∵S2＝5 S1

∴S△ADB＝2S△CDB

∴

∵△BDC∽△ADB

∴

∴DB2＝ADDC

∴

∴tan∠BAC＝＝．

（3）∵tan∠BAC＝

∴，得BC＝AB

∵E為BC的中點

∴BE＝AB

∵AE＝3，

∴在Rt△AEB中，由勾股定理得

，解得AB＝4

故⊙O的半徑R＝AB＝2．