【題目】如圖,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,DAC邊上一動(dòng)點(diǎn),CE⊥BDE.

(1)如圖(1),若BD平分∠ABC時(shí),∠ECD的度數(shù);②延長(zhǎng)CEBA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,補(bǔ)全圖形,探究BDEC的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論;

(2)如圖(2),過(guò)點(diǎn)AAF⊥BE于點(diǎn)F,猜想線段BE,CE,AF之間的數(shù)量關(guān)系,并證明你的猜想.

【答案】(1)①22.5°②BD=2CE(2)BE﹣CE=2AF

【解析】試題分析:1)①根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得出∠CBA=45°,再利用角平分線的定義解答即可;②延長(zhǎng)CEBA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F得出CE=FE,再利用AAS證明△ABD≌△ACF,利用全等三角形的性質(zhì)解答即可;(2)過(guò)點(diǎn)AAH⊥AE,交BE于點(diǎn)H,證明△ABH≌△ACE,進(jìn)而得出CE=BH,利用等腰直角三角形的判定和性質(zhì)解答即可.

試題解析:

1①∵△ABC中,∠BAC=90°AB=AC,

∴∠CBA=45°∵BD平分∠ABC,∴∠DBA=22.5°

∵CE⊥BD,∴∠ECD+∠CDE=90°∠DBA+∠BDA=90°,

∵∠CDE=∠BDA∴∠ECD=∠DBA=22.5°;

②BD=2CE

證明:延長(zhǎng)CEBA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,如圖1,

∵BD平分∠ABCCE⊥BD,

∴CE=FE

△ABD△ACF中,

∴△ABD≌△ACFAAS),

∴BD=CF=2CE

2)結(jié)論:BE﹣CE=2AF

證明:過(guò)點(diǎn)AAH⊥AE,交BE于點(diǎn)H,如圖2

∵AH⊥AE,

∴∠BAH+∠HAC=∠HAC+∠CAE

∴∠BAH=∠CAE,

△ABH△ACE中,,

∴△ABH≌△ACEASA),

∴CE=BH,AH=AE

∴△AEH是等腰直角三角形,

∴AF=EF=HF

∴BE﹣CE=2AF

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∴∠CDB=°.
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