Question

【題目】已知如圖，在矩形ABCD中，AB=4cm，BC=7cm，

（1）點(diǎn)F在邊BC上，且 BF=3，若點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1cm的速度沿A→D→C→F運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，求當(dāng)t為何值時(shí)，△AFP為等腰三角形？

（2）如圖2，將長(zhǎng)方形ABCD折疊，折痕為MN，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′落在線段BC上，當(dāng)點(diǎn)A′ 在BC上移動(dòng)時(shí)，點(diǎn)M、N也隨之移動(dòng)，若限定點(diǎn)M、N分別在線段AB、AD上移動(dòng)，則點(diǎn)A′ 在線段BC上可移動(dòng)的最大距離是___________．

Answer 1

【答案】（1）5s，6s，8s，s；（2）( -3)cm；

【解析】

（1）利用輔助圓確定點(diǎn)P的位置，再利用等腰三角形的性質(zhì)判定定理分別確定點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路程，即可得到運(yùn)動(dòng)時(shí)間；

（2）利用M,N的運(yùn)動(dòng)位置確定A′的最大運(yùn)動(dòng)位置即可；

解：(1)①如圖，以A為圓心，AF長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓，交AD于 ,則AF=A

在Rt△ABF中，AB=4cm,BF=3cm,

∴AF= =5cm;

∴AP1=AF=5cm;

∴t1=5s;

∴當(dāng)t1=5s時(shí)，

②如圖，以F為圓心，AF長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓，交AD于 ,則FA=F,交DC于 ，則FA=F

∵BF=3cm， AB=4cm,

∴FA= =5cm;

∴FP2=FP3=FA=5cm,

作FG⊥AD于G，則AP2=2AG=2BF=6cm，

∴t2=6s;

又∵BC=7cm,

∴FC=7-3=4cm,

∴CP3= =3cm,

∴DP3=1cm，

∴AD+DP3=8cm,

∴t3=8s;

③作AF的垂直平分線，交AD于 ，交AF于Ｈ，連接F

∵ABCD為矩形，

∴AD∥BC，∠B=90°，

∴∠DAF=∠AFB，

又∠AHP4=∠B=90°，

∴△AHP4∽△ABF,

,

∴AP4=,

∴t4=s;

綜上，當(dāng)t=5s，6s，8s，s時(shí)，△AFP為等腰三角形。

（2）如圖, 當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)D重合時(shí)，

根據(jù)翻折對(duì)稱(chēng)性可得：DA′=DA=7cm，

在Rt△A′CD中，

A′C= =cm,

如圖，當(dāng)點(diǎn)N與點(diǎn)B重合時(shí)，

根據(jù)翻折對(duì)稱(chēng)性可得BA′=AB=4cm．
∵A′C=CB-BA′，
∴A′C=3cm．
∴點(diǎn)A′在BC邊上可移動(dòng)的最大距離為( -3)cm．