Question

如圖1，拋物線y=ax²+bx+3經(jīng)過點A（-3，0），B（-1，0）兩點，
（1）求拋物線的解析式；
（2）設(shè)拋物線的頂點為M，直線y=-2x+9與y軸交于點C，與直線OM交于點D，現(xiàn)將拋物線平移，保持頂點在直線OD上，若平移的拋物線與射線CD（含端點C）只有一個公共點，求它的頂點橫坐標的值或取值范圍；
（3）如圖2，將拋物線平移，當頂點至原點時，過Q（0，3）作不平行于x軸的直線交拋物線于E、F兩點，問在y軸的負半軸上是否存在一點P，使△PEF的內(nèi)心在y軸上？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)拋物線y=ax²+bx+3經(jīng)過點A（-3，0），B（-1，0）兩點，代入解析式求出即可；
（2）由（1）配方得y=（x+2）²-1，利用函數(shù)平移①當拋物線經(jīng)過點C時，②當拋物線與直線CD只有一個公共點時，分別分析求出；
（3）由點E、F的坐標分別為（m，m²），（n，n²），得出m+n=k，m•n=-3，利用作點E關(guān)于y軸的對稱點R（-m，m²），作直線FR交y軸于點P，由對稱性知∠EFP=∠FPQ，此時△PEF的內(nèi)心在y軸上，求出即可．

解答：解：（1）拋物線y=ax²+bx+3經(jīng)過點A（-3，0），B（-1，0）兩點，
∴

9a-3b+3=0 a-b+3=0

，
解得a=1，b=4，
∴拋物線解析式為y=x²+4x+3；

（2）由（1）配方得y=（x+2）²-1
∴拋物線的頂點M（-2，-1），
直線OD的解析式為y=

1

2

x．于是設(shè)平移后的拋物線的頂點坐標為（h，

1

2

h），
∴平移后的拋物線解析式為y=（x-h）²+

1

2

h，
①當拋物線經(jīng)過點C時，∵C（0，9），
∴h²+

1

2

h=9，解得h=

-1± 145

4

，
∴當

-1- 145

4

≤h＜

-1+ 145

4

時，平移的拋物線與射線CD（含端點C）只有一個公共點，
②當拋物線與直線CD只有一個公共點時，由方程組

y=(x-h)2+ 1 2 h y=-2x+9

，
得x²+（-2h+2）x+h²+

1

2

h-9=0，
∴△=（-2h+2）²-4（h²+

1

2

h-9）=0，
解得h=4，
此時拋物線y=（x-4）²+2與射線CD只有唯一一個公共點為（3，3），
綜上所述，平移的拋物線與射線CD（含端點C）只有一個公共點時，
頂點橫坐標h的取值范圍為h=4或

-1- 145

4

≤h＜

-1+ 145

4

；

（3）設(shè)直線EF的解析式為y=kx+3（k≠0），
點E、F的坐標分別為（m，m²），（n，n²），
由

y=x2 y=kx+3

得x²-kx-3=0，
∴m+n=k，m•n=-3，
作點E關(guān)于y軸的對稱點R（-m，m²），作直線FR交y軸于點P，
由對稱性知∠EPQ=∠FPQ，此時△PEF的內(nèi)心在y軸上，
∴點P即為所求的點．
由F，R的坐標可得直線FR的解析式為y=（n-m）x+mn記y=（n-m）x-3，
當x=0時，y=-3，
∴p（0，-3），
∴y軸的負半軸上存在點P（0，-3）使△PEF的內(nèi)心在y軸上．

點評：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及三角形內(nèi)心的特點，二次函數(shù)的綜合應(yīng)用是初中階段的重點題型，特別注意利用數(shù)形結(jié)合以及分類討論是這部分考查的重點，也是難點，同學們應(yīng)重點掌握．