【題目】二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)在原點(diǎn)O，經(jīng)過點(diǎn)A（1，）；點(diǎn)F（0，1）在y軸上．直線y=﹣1與y軸交于點(diǎn)H．

（1）求二次函數(shù)的解析式；

（2）點(diǎn)P是（1）中圖象上的點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的垂線與直線y=﹣1交于點(diǎn)M.

求證：PFM為等腰三角形；

（3）作PQFM于點(diǎn)Q，當(dāng)點(diǎn)P從橫坐標(biāo)2013處運(yùn)動(dòng)到橫坐標(biāo)2017處時(shí),請(qǐng)求出點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的路徑長.

【答案】（1）；（2）見解析；（3）2.

【解析】

（1）設(shè)拋物線的解析式為y=ax2，將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入求得a的值即可；

（2）由兩點(diǎn)間的距離公式可求得PM和PF的長，從而得到PM=PF；

（3）由等腰三角形的性質(zhì)可知點(diǎn)Q是FM的中點(diǎn)，從而得到OQ是△FHM的中位線，由三角形中位線的性質(zhì)可求得當(dāng)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2013時(shí)，OQ=1006.5；當(dāng)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2017時(shí)，OQ=1008.5，故此可求得點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的路徑長．

（1）二次函數(shù)解析式為：y=ax2，

∵經(jīng)過點(diǎn)A（1，），∴a=，∴二次函數(shù)的解析式y=x2．

（2）∵點(diǎn)P是（1）中圖象上的點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的垂線與直線y=﹣1交于點(diǎn)M，

設(shè)P（x，x2），則M（x，﹣1），∴PM=x2+1．

由兩點(diǎn)間的距離公式可知：PF====，∴PF=PM ，即△PFM為等腰三角形．

（3）如圖所示：過點(diǎn)P作PQ⊥FM，垂足為Q．

∵PF=PM，PQ⊥FM，∴FQ=QM．

∵OF=OH，FQ=QM，∴OQ∥HM，且OQ=MH．

當(dāng)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2013時(shí)，

當(dāng)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2017時(shí)，

∴點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的路徑長：1008.5-1006.5=2．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】（習(xí)題回顧）（1）如下左圖，在中，平分平分，則_________．

（探究延伸）在中，平分、平分、平分相交于點(diǎn)，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)．

（2）如上中間圖，求證：；

（3）如上右圖，外角的平分線與的延長線交于點(diǎn)．

①判斷與的位置關(guān)系，并說明理由；

②若，試說明：．

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【題目】問題背景：如圖1：在四邊形ABCD中,AB=AD,∠BAD=120 ,∠B=∠ADC=90°.E、F分別是 BC,CD 上的點(diǎn)。且∠EAF=60° . 探究圖中線段BE，EF，FD 之間的數(shù)量關(guān)系。 小王同學(xué)探究此問題的方法是,延長 FD 到點(diǎn) G,使 DG=BE,連結(jié) AG,先證明△ABE≌△ADG, 再證明△AEF≌△AGF，可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是_________；

探索延伸：如圖2，若四邊形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180° .E,F 分別是 BC,CD 上的點(diǎn),且∠EAF=∠BAD，上述結(jié)論是否仍然成立，并說明理由；

實(shí)際應(yīng)用：如圖3，在某次軍事演習(xí)中，艦艇甲在指揮中心（O處）北偏西30°的A處,艦艇乙在指揮中心南偏東 70°的B處,并且兩艦艇到指揮中心的距離相等,接到行動(dòng)指令后,艦艇甲向正東方向以55 海里/小時(shí)的速度前進(jìn),艦艇乙沿北偏東 50°的方向以 75 海里/小時(shí)的速度前進(jìn)2小時(shí)后, 指揮中心觀測到甲、乙兩艦艇分別到達(dá) E,F 處,且兩艦艇之間的夾角為70° ，試求此時(shí)兩艦 艇之間的距離。

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【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，把一個(gè)點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)都乘以同一個(gè)實(shí)數(shù)，然后將得到的點(diǎn)先向右平移個(gè)單位，再向上平移個(gè)單位，得到點(diǎn)

（1）若，，，，則點(diǎn)坐標(biāo)是_____；

（2）對(duì)正方形及其內(nèi)部的每個(gè)點(diǎn)進(jìn)行上述操作，得到正方形及其內(nèi)部的點(diǎn)，其中點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為．求；

（3）在（2）的條件下，己知正方形內(nèi)部的一個(gè)點(diǎn)經(jīng)過上述操作后得到的對(duì)應(yīng)點(diǎn)與點(diǎn)重合，求點(diǎn)的坐標(biāo)．

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【題目】長為1，寬為a的矩形紙片（），如圖那樣折一下，剪下一個(gè)邊長等于矩形寬度的正方形（稱為第一次操作）；再把剩下的矩形如圖那樣折一下，剪下一個(gè)邊長等于此時(shí)矩形寬度的正方形（稱為第二次操作）；如此反復(fù)操作下去．若在第n此操作后，剩下的矩形為正方形，則操作終止．當(dāng)n=3時(shí)，a的值為_____________．

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【題目】如圖，兩個(gè)邊長都為2的正方形A BCD和OPQR，如果O點(diǎn)正好是正方形ABCD的中心，而正方形OPQR可以繞D點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，那么它們重疊部分的面積為( )

A. 4 B. 2 C. 1 D.

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【題目】在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D在直線BC上（不與點(diǎn)B、C重合），線段AD繞A點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)∠BAC的大小，得線段AE，連接DE、CE．探索∠BCE與∠BAC的大小關(guān)系，并加以證明．

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【題目】在一次數(shù)學(xué)課上，老師對(duì)大學(xué)說：“你任意想一個(gè)非零實(shí)數(shù)，然后按下列步驟操作，我會(huì)直接說出你運(yùn)算的最后結(jié)果”

操作步驟如下：

第一步：計(jì)算這個(gè)數(shù)與1的和的平方，減去這個(gè)數(shù)與1的差的平方

第二步：把第一步得到的數(shù)乘以25

第三步：把第二步得到的數(shù)除以你想的這個(gè)數(shù)

（1）若小明同學(xué)心里想的是數(shù)9，請(qǐng)幫他計(jì)算出最后結(jié)果：

.

（2）老師說：“同學(xué)們，無論你們心里想的是什么非零實(shí)數(shù)，按照以上步驟進(jìn)行操作，得到的最后結(jié)果都相等”，小明同學(xué)想驗(yàn)證這個(gè)結(jié)論，于是，設(shè)心里想的數(shù)是a（a≠0），請(qǐng)你幫小明完成這個(gè)驗(yàn)證過程

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【題目】已知直線y=x+3交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)B，拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A，B．

（1）求拋物線解析式；

（2）點(diǎn)C（m，0）在線段OA上（點(diǎn)C不與A，O點(diǎn)重合），CD⊥OA交AB于點(diǎn)D，交拋物線于點(diǎn)E，若DE=AD，求m的值；

（3）點(diǎn)M在拋物線上，點(diǎn)N在拋物線的對(duì)稱軸上，在（2）的條件下，是否存在以點(diǎn)D，B，M，N為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

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