【題目】已知:△ABC內(nèi)接于⊙O,連接CO并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)E,交⊙O于點(diǎn)D,滿足∠BEC=3∠ACD.
(1)如圖1,求證:AB=AC;
(2)如圖2,連接BD,點(diǎn)F為弧BD上一點(diǎn),連接CF,弧CF=弧BD,過(guò)點(diǎn)A作AG⊥CD,垂足為點(diǎn)G,求證:CF+DG=CG;
(3)如圖3,在(2)的條件下,點(diǎn)H為AC上一點(diǎn),分別連接DH,OH,OH⊥DH,過(guò)點(diǎn)C作CP⊥AC,交⊙O于點(diǎn)P,OH:CP=1: ,CF=12,連接PF,求PF的長(zhǎng).
【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)見(jiàn)解析;(3)
【解析】
(1)連接AD.設(shè)∠BEC=3α,∠ACD=α,利用等量代換得出∠ABC=∠ACB,最后進(jìn)一步證明結(jié)論即可;
(2)連接AD,在CD上取一點(diǎn)Z,使得CZ=BD,通過(guò)證明△ADB≌△AZC得出AD=AZ,然后進(jìn)一步證明即可;
(3)連接AD,PA,作OK⊥AC于K,OR⊥PC于R,CT⊥FP交FP的延長(zhǎng)線于T,利用三角函數(shù)以及勾股定理進(jìn)一步求解即可.
(1)證明:如圖1中,連接AD.設(shè)∠BEC=3α,∠ACD=α.
∵∠BEC=∠BAC+∠ACD,
∴∠BAC=2α,
∵CD是直徑,
∴∠DAC=90°,
∴∠D=90°﹣α,
∴∠B=∠D=90°﹣α,
∵∠ACB=180°﹣∠BAC﹣∠ABC=180°﹣2α﹣(90°﹣α)=90°﹣α.
∴∠ABC=∠ACB,
∴AB=AC;
(2)證明:如圖2中,連接AD,在CD上取一點(diǎn)Z,使得CZ=BD.
∵弧BD=弧CF,
∴DB=CF,
∵∠DBA=∠DCA,CZ=BD,AB=AC,
∴△ADB≌△AZC(SAS),
∴AD=AZ,
∵AG⊥DZ,
∴DG=GZ,
∴CG=CZ+GZ=BD+DG=CF+DG.
(3)連接AD,PA,作OK⊥AC于K,OR⊥PC于R,CT⊥FP交FP的延長(zhǎng)線于T.
∵CP⊥AC,
∴∠ACP=90°,
∴PA是直徑,
∵OR⊥PC,OK⊥AC,
∴PR=RC,∠ORC=∠OKC=∠ACP=90°,
∴四邊形OKCR是矩形,
∴RC=OK,
∵OH:PC=1:,
∴設(shè)OH=a,PC=2a,
∴PR=RC=a,
∴RC=OK=a,sin∠OHK=,
∴∠OHK=45°,
∵OH⊥DH,
∴∠DHO=90°,
∴∠DHA=180°﹣90°﹣45°=45°,
∵CD是直徑,
∴∠DAC=90°,
∴∠ADH=90°﹣45°=45°,
∴∠DHA=∠ADH,
∴AD=AH,
∵∠COP=∠AOD,
∴AD=PC,
∴AH=AD=PC=2a,
∴AK=AH+HK=2a+a=3a,
在Rt△AOK中,tan∠OAK=,OA==,
∴sin∠OAK=,
∵∠ADG+∠DAG=90°,∠ACD+∠ADG=90°,
∴∠DAG=∠ACD,
∵AO=CO,
∴∠OAK=∠ACO,
∴∠DAG=∠ACO=∠OAK,
∴tan∠ACD=tan∠DAG=tan∠OAK=,
∴AG=3DG,CG=3AG,
∴CG=9DG,
由(2)可知,CG=DG+CF,
∴DG+12=9DG,
∴DG=,AG=3DG=3×=,
∴AD=,
∴PC=AD=,
∵sin∠F=sin∠OAK,
∴sin∠F=,
∴CT==×12=,FT=,PT=,
∴PF=FT﹣PT=﹣=.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,二次函數(shù)的圖象如圖所示,與軸的交點(diǎn)分別,且函數(shù)與軸交點(diǎn)在的下方,現(xiàn)給以下結(jié)論:①;②;③當(dāng)時(shí),的取值范圍是;④.則下列說(shuō)法正確的是( )
A.①②B.①③C.①④D.③④
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在ABCD中,AB=2BC,M是AB的中點(diǎn),則∠CMD( 。
A.是銳角B.是直角
C.是鈍角D.度數(shù)不能確定
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx+3經(jīng)過(guò)點(diǎn) B(﹣1,0),C(2,3),拋物線與y軸的焦點(diǎn)A,與x軸的另一個(gè)焦點(diǎn)為D,點(diǎn)M為線段AD上的一動(dòng)點(diǎn),設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為t.
(1)求拋物線的表達(dá)式;
(2)過(guò)點(diǎn)M作y軸的平行線,交拋物線于點(diǎn)P,設(shè)線段PM的長(zhǎng)為1,當(dāng)t為何值時(shí),1的長(zhǎng)最大,并求最大值;(先根據(jù)題目畫(huà)圖,再計(jì)算)
(3)在(2)的條件下,當(dāng)t為何值時(shí),△PAD的面積最大?并求最大值;
(4)在(2)的條件下,是否存在點(diǎn)P,使△PAD為直角三角形?若存在,直接寫(xiě)出t的值;若不存在,說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,點(diǎn)A,點(diǎn)B分別在y軸,x軸上,OA=OB,點(diǎn)E為AB的中點(diǎn),連接OE并延長(zhǎng)交反比例函數(shù)y=(x>0)的圖象于點(diǎn)C,過(guò)點(diǎn)C作CD⊥x軸于點(diǎn)D,點(diǎn)D關(guān)于直線AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)恰好在反比例函數(shù)圖象上,則OE﹣EC=_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某風(fēng)景區(qū)內(nèi)的公路如圖1所示,景區(qū)內(nèi)有免費(fèi)的班車(chē),從入口處出發(fā)沿該公路開(kāi)往草甸,途中?克郑ㄉ舷萝(chē)時(shí)間忽略不計(jì)).第一班車(chē)上午8點(diǎn)發(fā)車(chē),以后每隔10分鐘有一班車(chē)從入口處發(fā)車(chē).小聰周末到該風(fēng)景區(qū)游玩,上午7:40到達(dá)入口處,因還沒(méi)到班車(chē)發(fā)車(chē)時(shí)間,于是從景區(qū)入口處出發(fā),沿該公路步行25分鐘后到達(dá)塔林.離入口處的路程y(米)與時(shí)間x(分)的函數(shù)關(guān)系如圖2所示.
(1)求第一班車(chē)離入口處的路程y(米)與時(shí)間x(分)函數(shù)表達(dá)式.并寫(xiě)出x的取值范圍;
(2)求第一班車(chē)從入口處到達(dá)塔林所需的時(shí)間;
(3)小聰在塔林游玩40分鐘后,想坐班車(chē)到草甸,則小聰最早能夠坐上第幾班車(chē)?如果他坐這班車(chē)到草甸,比他在塔林游玩結(jié)束后立即步行到草甸提早了幾分鐘?(假設(shè)每一班車(chē)速度均相同,小聰步行速度不變)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】2020年伊始,一場(chǎng)突如其來(lái)的疫情防控戰(zhàn)在中華大地驟然打響,全國(guó)人民自覺(jué)居家減少外出,師生停課不停學(xué),舉國(guó)共抗疫情.某中學(xué)在復(fù)學(xué)后,為了了解學(xué)生們?cè)诰蛹移陂g的生活狀態(tài),以更好地保護(hù)復(fù)學(xué)后學(xué)生們的身心健康,對(duì)本校學(xué)生進(jìn)行了“居家期間學(xué)習(xí)之余主要活動(dòng)”的抽樣調(diào)查.種類(lèi)為:(A)強(qiáng)身健體、(B)藝術(shù)熏陶、(C)經(jīng)典閱讀、(D)分擔(dān)勞動(dòng)、(E)其他.針對(duì)以上活動(dòng)種類(lèi),統(tǒng)計(jì)學(xué)生們花時(shí)間最多的種類(lèi)的人數(shù),以繪制成如下兩幅不完整的條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖.
請(qǐng)根據(jù)圖中的信息,回答下列問(wèn)題.
(1)被抽樣調(diào)查的總?cè)藬?shù)為 人;
(2)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;
(3)若該校共有學(xué)生1800人,請(qǐng)估算種類(lèi)D的大約人數(shù);
(4)據(jù)此疫情經(jīng)歷,給自己提出一條人生建議 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某校為了解“陽(yáng)光體育”活動(dòng)的開(kāi)展情況,從全校1000名學(xué)生中,隨機(jī)抽取部分學(xué)生進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查(每名學(xué)生只能從A、B、C、D中選擇一項(xiàng)自己喜歡的活動(dòng)項(xiàng)目),并將調(diào)查結(jié)果繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖.
A:踢毽子 B:乒乓球 C:籃球 D:跳繩
根據(jù)以上信息,解答下列問(wèn)題:
(1)被調(diào)查的學(xué)生共有 人,并補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;
(2)在扇形統(tǒng)計(jì)圖中,求表示區(qū)域D的扇形圓心角的度數(shù);
(3)全校學(xué)生中喜歡籃球的人數(shù)大約是多少人?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在我市迎接奧運(yùn)圣火的活動(dòng)中,某校教學(xué)樓上懸掛著宣傳條幅DC,小麗同學(xué)在點(diǎn)A處,測(cè)得條幅頂端D的仰角為30°,再向條幅方向前進(jìn)10米后,又在點(diǎn)B處測(cè)得條幅頂端D的仰角為45°,已知測(cè)點(diǎn)A、B和C離地面高度都為1.44米,求條幅頂端D點(diǎn)距離地面的高度.(計(jì)算結(jié)果精確到0.1米,參考數(shù)據(jù):.)
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