Question

【題目】如圖，平行四邊形ABCD中，AE⊥BD于點E，CF⊥BD于點F，連結AF、CE．

(1)求證：四邊形AECF是平行四邊形；

(2)若AB＝6，AD＝2，∠ABD＝30°，求四邊形AECF的面積．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)6.

【解析】

（1）由四邊形ABCD是平行四邊形，可得AB＝CD，AB∥CD，又由AE⊥BD，CF⊥BD，即可得AE∥CF，∠AEB＝∠CFD＝90°，然后利用AAS證得△AEB≌△CFD，即可得AE＝CF，由有一組對邊相等且平行的四邊形是平行四邊形，即可證得四邊形AECF是平行四邊形．

（2）根據直角三角形中30°的角所對的直角邊為斜邊的一半，求出AE和BE的長，再根據勾股定理求出DE的長，從而求出DF和EF的長，根據S平行四邊形AECF＝底高計算即可；

(1)連接AF、EC．

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB＝CD，AB∥CD，

∴∠ABE＝∠CDF，

∵AE⊥BD，CF⊥BD，

∴AE∥CF，∠AEB＝∠CFD＝90°，

在△AEB和△CFD中，

,

∴△AEB≌△CFD(AAS)，

∴AE＝CF，

∴四邊形AECF是平行四邊形．

(2)在Rt△ABE中，∵AB＝6，∠ABD＝30°，

∴AE＝AB＝3，BE＝AE＝3，

在Rt△ADE中，AD＝2，

DE＝

∵△AEB≌△CFD，

∴BE＝DF＝3，

∴EF＝DE-DF=2，

∴S平行四邊形AECF＝ ＝6．