Question

【題目】已知拋物線y=﹣x2+bx+c的圖象經(jīng)過點A（m，0）、B（0，n），其中m、n是方程x2﹣6x+5=0的兩個實數(shù)根，且m＜n．

（1）求拋物線的解析式；
（2）設（1）中的拋物線與x軸的另一個交點為C，拋物線的頂點為D，求C、D點的坐標和△BCD的面積；
（3）P是線段OC上一點，過點P作PH⊥x軸，交拋物線于點H，若直線BC把△PCH分成面積相等的兩部分，求P點的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）

解：解方程x2﹣6x+5=0，

得x1=5，x2=1，

由m＜n，知m=1，n=5，

∴A（1，0），B（0，5），

∴ ,即 ；

所求拋物線的解析式為y=﹣x2﹣4x+5．

（2）

解：

由﹣x2﹣4x+5=0，

得x1=﹣5，x2=1，

故C的坐標為（﹣5，0），

由頂點坐標公式，得D（﹣2，9）；

過D作DE⊥x軸于E，得E（﹣2，0），

∴S△BCD=S△CDE+S梯形OBDE﹣S△OBC= =15．

（注：延長DB交x軸于F，由S△BCD=S△CFD﹣S△CFB也可求得）

（3）

解：設P（a，0），則H（a，﹣a2﹣4a+5）；

直線BC把△PCH分成面積相等的兩部分，須且只須BC等分線段PH，亦即PH的中點，

（ ）在直線BC上，

易得直線BC方程為：y=x+5；

∴ ．

解之得a1=﹣1，a2=﹣5（舍去），

故所求P點坐標為（﹣1，0）．

【解析】（1）通過解方程可求出m、n的值，也就求出了點A、B的坐標，將它們代入拋物線的解析式中，通過聯(lián)立方程組即可求得待定系數(shù)的值，從而確定該拋物線的解析式．（2）拋物線的解析式中，令y=0可求得C點坐標，利用公式法可求出拋物線頂點D的坐標；由于△BCD的面積無法直接求得，可過D作x軸的垂線，設垂足為E，分別求出△CDE、梯形DEOB、△BCO的面積，那么△CDE、梯形DEOB的面積和減去△BCO的面積，即可得到△BCD的面積．（3）若直線BC平分△PCH的面積，那么直線BC必過PH的中點，因為只有這樣平分所得的兩個三角形才等底等高，可設出點P的坐標，根據(jù)拋物線的解析式可表示出點H的坐標，進而可求得PH中點的坐標，由于PH中點在直線BC上，可將其代入直線BC的解析式中，由此求出點P的坐標．