Question

【題目】已知△ABC，AB=AC=5，BC=8，∠PDQ的頂點D在BC邊上，DP交AB邊于點E，DQ交AB邊于點O且交CA的延長線于點F（點F與點A不重合），設(shè)∠PDQ=∠B，BD=3．
（1）求證：△BDE∽△CFD；
（2）設(shè)BE=x，OA=y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域；
（3）當△AOF是等腰三角形時，求BE的長．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵AB=AC，

∴∠B=∠C，

∵∠EDC=∠B+∠BED，

∴∠FDC+∠EDO=∠B+∠BED，

∵∠EDO=∠B，

∴∠BED=∠EDC，

∵∠B=∠C，

∴△BDE∽△CFD．

（2）

解：過點D作DM∥AB交AC于M（如圖1中）．

∵△BDE∽△CFD，

∴ ，∵BC=8，BD=3，BE=x，

∴ = ，

∴FC= ，

∵DM∥AB，

∴ ，即 = ，

∴DM= ，

∵DM∥AB，

∴∠B=∠MDC，

∴∠MDC=∠C，

∴CM=DM= ，F(xiàn)M= ﹣ ，

∵DM∥AB，

∴ ，即 = ，

∴y= （0＜x＜3）．

（3）

解：①當AO=AF時，

由（2）可知AO=y= ，AF=FC﹣AC= ﹣5，

∴ = ﹣5，解得x= ．

∴BE=

②當FO=FA時，易知DO=AM= ，作DH⊥AB于H（如圖2中），

BH=BDcos∠B=3× = ，

DH=BDsin∠B=3× = ，

∴HO= = ，

∴OA=AB﹣BH﹣HO= ，

由（2）可知y= ，即 = ，解得x= ，

∴BE= ．

③當OA=OF時，設(shè)DP與CA的延長線交于點N（如圖3中）．

∴∠OAF=∠OFA，∠B=∠C=∠ANE，

由△ABC≌△CDN，可得CN=BC=8，ND=5，

由△BDE≌△NAE，可得NE=BE=x，ED=5﹣x，

作EG⊥BC于G，則BG= x，EG= x，

∴GD= ，

∴BG+GD= x+ =3，

∴x= ＞3（舍棄），

綜上所述，當△OAF是等腰三角形時，BE= 或 ．

【解析】（1）根據(jù)兩角對應(yīng)相等兩三角形相似即可證明．（2）過點D作DM∥AB交AC于M（如圖1中）．由△BDE∽△CFD，得 ，推出FC= ，由DM∥AB，得 ，推出DM= ，由DM∥AB，推出∠B=∠MDC，∠MDC=∠C，CM=DM= ，F(xiàn)M= ﹣ ，于DM∥AB，得 ，代入化簡即可．（3）分三種情形討論①當AO=AF時，②當FO=FA時，③當OA=OF時，分別計算即可．
【考點精析】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)和相似三角形的應(yīng)用的相關(guān)知識點，需要掌握相似三角形的一切對應(yīng)線段(對應(yīng)高、對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方；測高：測量不能到達頂部的物體的高度，通常用“在同一時刻物高與影長成比例”的原理解決；測距：測量不能到達兩點間的舉例，常構(gòu)造相似三角形求解才能正確解答此題．