Question

（2007•中山）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為3a，兩動(dòng)點(diǎn)E、F分別從頂點(diǎn)B、C同時(shí)開始以相同速度沿BC、CD運(yùn)動(dòng)，與△BCF相應(yīng)的△EGH在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中始終保持△EGH≌△BCF，對(duì)應(yīng)邊EG=BC，B、E、C、G在一直線上．
（1）若BE=a，求DH的長(zhǎng)；
（2）當(dāng)E點(diǎn)在BC邊上的什么位置時(shí)，△DHE的面積取得最小值？并求該三角形面積的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）可通過(guò)構(gòu)建直角三角形求解．連接FH，則FH∥BE且FH=BE，F(xiàn)H⊥CD．因此三角形DFH為直角三角形．
點(diǎn)E、F分別從頂點(diǎn)B、C同時(shí)開始以相同速度沿BC、CD運(yùn)動(dòng)，那么DF=3a-a=2a，DF=2a，F(xiàn)H=a，根據(jù)勾股定理就求出了DH的長(zhǎng)．
（2）設(shè)BE=x，△DHE的面積為y，通過(guò)三角形DHE的面積=三角形CDE的面積+梯形CDHG的面積-三角形EGH的面積，來(lái)得出關(guān)于x，y的函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求出y取最小值時(shí)x的值，并求出此時(shí)y的值．
解答：解：（1）連接FH，則FH∥BE且FH=BE，
在Rt△DFH中，DF=3a-a=2a，F(xiàn)H=a，∠DFH=90°，
所以，DH==a；

（2）設(shè)BE=x，△DHE的面積為y，
依題意y=S_△CDE+S_梯形CDHG-S_△EGH
=×3a×（3a-x）+×（3a+x）×x-×3a×x
=x²-ax+a²
y=x²-ax+a²=（x-a）²+a²
當(dāng)x=a，即BE=BC，E是BC的中點(diǎn)時(shí)，y取最小值，△DHE的面積y的最小值為a²．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了正方形的性質(zhì)，二次函數(shù)的綜合應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)．