Question

如圖所示，已知OABC是一張放在平面直角坐標(biāo)系中的矩形紙片，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)C在y軸上，且OA=15，OC=9，在邊AB上選取一點(diǎn)D，將△AOD沿OD翻折，使點(diǎn)A落在BC邊上，記為點(diǎn)E．
（1）求DE所在直線的解析式；
（2）設(shè)點(diǎn)P在x軸上，以點(diǎn)O、E、P為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，問這樣的點(diǎn)P有幾個(gè)，并求出所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）在x軸、y軸上是否分別存在點(diǎn)M、N，使四邊形MNED的周長最小？如果存在，求出周長的最小值；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）由題意知，OE=OA=15，AD=DE，
在Rt△OCE中，由勾股定理得：CE===12，
∴BE=BC-CE=15-12=3
在Rt△BED中，由勾股定理知：AD²=DE²=BE²+BD²，即DE²=（9-DE）²+3²，
解得DE=5，
∴AD=5
∴D（15，5），E（12，9）
設(shè)DE直線的解析式為y=kx+b，
∴
解得k=-，b=25
∴DE直線的解析式為y=-x+25；

（2）當(dāng)在x的正半軸上，OP₁=OE=15時(shí)，點(diǎn)P₁與點(diǎn)A重合，則P₁（15，0）；
當(dāng)在x的負(fù)半軸上，OP₂=OE=15時(shí)，則P₂（-15，0）；
當(dāng)OE=EP₃時(shí)，作EH⊥OA于點(diǎn)H，有OH=CE=HP₃=12，則P₃（24，0）；
當(dāng)OP₄=EP₄時(shí)，由勾股定理知P₄H²+EH²=P₄E²，即（12-P₄E）²+9²=P₄E²
解得OP₄=EP₄=，即P₄（，0）；
∴滿足△OPE為等腰三角形的點(diǎn)有四個(gè)：
P₁（15，0）；P₂（-15，0）；P₃（24，0）；P₄（，0）；

（3）作點(diǎn)D關(guān)于x的對稱點(diǎn)D′，點(diǎn)E關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)E′，連接E′D′，
分別交于y軸、x軸于點(diǎn)N、點(diǎn)M，則點(diǎn)M、N是所求得的點(diǎn)．
在Rt△BE′D′中，D′E′==5
∴四邊形DENM的周長=DE+EN+MN+MD=DE+D′E′=5+5．
分析：（1）由于OE=OA=15，AD=DE，在Rt△OCE中，由勾股定理求得CE的值，再在Rt△BED中，由勾股定理建立關(guān)于DE的方程求解；
（2）分四種情況：在x的正半軸上，OP=OE時(shí)；在x的負(fù)半軸上，OP=OE時(shí)；EO=EP時(shí)；OP=EP時(shí)，分別可以求得點(diǎn)P對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）作點(diǎn)D關(guān)于x的對稱點(diǎn)D′，點(diǎn)E關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)E′，連接E′D′，分別交于y軸、x軸于點(diǎn)N、點(diǎn)M，則點(diǎn)M、N是所求得的點(diǎn)，能使四邊形的周長最小，周長且為E′D′+ED．
點(diǎn)評：本題綜合考查矩形的性質(zhì)、翻折的性質(zhì)、勾股定理、待定系數(shù)法、軸對稱的性質(zhì)、等腰三角形．注意第2小題中不要漏了某種情況．