【題目】如圖,點(diǎn)P是正方形ABCD對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)E在射線BC上,且PBPE,連接PD,OAC中點(diǎn).

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)P在線段AO上時(shí),試猜想PEPD的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系,不用說明理由;

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)P在線段OC上時(shí),(1)中的猜想還成立嗎?請(qǐng)說明理由;

(3)如圖3,當(dāng)點(diǎn)PAC的延長(zhǎng)線上時(shí),請(qǐng)你在圖3中畫出相應(yīng)的圖形(尺規(guī)作圖,保留作圖痕跡,不寫作法),并判斷(1)中的猜想是否成立?若成立,請(qǐng)直接寫出結(jié)論;若不成立,請(qǐng)說明理由.

【答案】(1)PEPD的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系分別為:PEPD,PEPD;(2)成立,理由見解析;(3)成立,理由見解析.

【解析】

1)根據(jù)點(diǎn)P在線段AO上時(shí),利用三角形的全等判定可以得出PEPD,PEPD;

2)利用三角形全等得出,BPPD,由PBPE,得出PEPD,要證PEPD;從三方面分析,當(dāng)點(diǎn)E在線段BC上(EB、C不重合)時(shí),當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí),點(diǎn)P恰好在AC中點(diǎn)處,當(dāng)點(diǎn)EBC的延長(zhǎng)線上時(shí),分別分析即可得出;

3)利用PEPB得出P點(diǎn)在BE的垂直平分線上,利用垂直平分線的性質(zhì)只要以P為圓心,PB為半徑畫弧即可得出E點(diǎn)位置,利用(2)中證明思路即可得出答案.

(1)當(dāng)點(diǎn)P在線段AO上時(shí),

ABPADP,

∴△ABP≌△ADP,

BPDP,

PBPE,

PEPD,

過點(diǎn)PPMCD于點(diǎn)M,作PNBC,于點(diǎn)N,

PBPEPNBE,

BNNE,

BNDM,

DMNE

RtPNERtPMD中,

PDPENEDM,

RtPNERtPMD

∴∠DPM=∠EPN,

∵∠MPN90°

∴∠DPE90°,

PEPD,

PEPD的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系分別為:PEPD,PEPD;

(2)∵四邊形ABCD是正方形,AC為對(duì)角線,

BADA,∠BAP=∠DAP45°,

PAPA,

∴△BAP≌△DAP(SAS),

PBPD,

又∵PBPE

PEPD

(i)當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí),點(diǎn)P恰好在AC中點(diǎn)處,此時(shí),PEPD

(ii)當(dāng)點(diǎn)EBC的延長(zhǎng)線上時(shí),如圖.

∵△ADP≌△ABP,

∴∠ABP=∠ADP,

∴∠CDP=∠CBP,

BPPE

∴∠CBP=∠PEC,

∴∠PEC=∠PDC,

∵∠1=∠2,

∴∠DPE=∠DCE90°,

PEPD

綜合(i)(ii),PEPD;

(3)同理即可得出:PEPD,PDPE

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