Question

3．如圖，等腰直角△ABC與等腰直角△CDE，連接AD、BE，M為AD中點(diǎn)，連接MC并延長(zhǎng)交BE于N．
（1）求證MN⊥BE；
（2）在圖中請(qǐng)寫出你發(fā)現(xiàn)的其他結(jié)論，并加以證明．

Answer 1

分析 （1）過點(diǎn)A作AF∥CD交CM的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，先利用ASA證明△AFM≌△MCD，進(jìn)而得到AF=CD，再利用SAS證明△AFC≌△BEC，進(jìn)而得到∠F=∠BEC，再根據(jù)角角之間的關(guān)系得到∠CNB=90°，于是結(jié)論得證；
（2）結(jié)論有∠ACM=∠CBE，根據(jù)（1）結(jié)論△AFC≌△BEC即可得到．

解答 解：（1）過點(diǎn)A作AF∥CD交CM的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，
∴∠F=∠FCD，且AM=MD，∠FMA=∠CMD，
在△AFM和△MCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠F=∠FCD}\\{AM=MD}\\{∠FMA=∠CMD}\end{array}\right.$，
∴△AFM≌△MCD，
∴AF=CD，
∵△ABC，△CDE是等腰直角三角形，
∴BC=AC，DC=CE，∠ACB=∠DCE=90°，
∴AF=CD=CE，∠ACD+∠BCE=180°，
∵AF∥CD，
∴∠ACD+∠CAF=180°，
∴∠FAC=∠BCE，CE=AF，BC=AC，
在△AFC和△BEC，
$\left\{\begin{array}{l}{CE=AF}\\{∠FAC=∠BCE}\\{BC=AC}\end{array}\right.$，
∴△AFC≌△BEC，
∴∠F=∠BEC，
∵∠NCE+∠FCD=180°-∠DCE=90°，
∴∠NCE+∠CEB=90°，
∴∠CNB=90°，
∴MN⊥BE；
（2）∠ACM=∠CBE．
∵△AFC≌△BEC，
∴∠ACM=∠CBE．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)的知識(shí)，解答本題的關(guān)鍵是利用ASA證明△AFM≌△MCD，利用SAS證明△AFC≌△BEC，此題有一定的難度．