Question

【題目】《函數(shù)的圖象與性質(zhì)》拓展學(xué)習(xí)片段展示：

（1）【問(wèn)題】如圖①，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=a（x﹣2）2﹣ 經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為A，則a= ．
（2）【操作】將圖①中拋物線在x軸下方的部分沿x軸折疊到x軸上方，將這部分圖象與原拋物線剩余部分的圖象組成的新圖象記為G，如圖②．直接寫(xiě)出圖象G對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式．
（3）【探究】在圖②中，過(guò)點(diǎn)B（0，1）作直線l平行于x軸，與圖象G的交點(diǎn)從左至右依次為點(diǎn)C，D，E，F(xiàn)，如圖③．求圖象G在直線l上方的部分對(duì)應(yīng)的函數(shù)y隨x增大而增大時(shí)x的取值范圍．
（4）【應(yīng)用】P是圖③中圖象G上一點(diǎn)，其橫坐標(biāo)為m，連接PD，PE．直接寫(xiě)出△PDE的面積不小于1時(shí)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）
（2）解：如圖①，拋物線：y= （x﹣2）2﹣ ，

對(duì)稱(chēng)軸是：直線x=2，由對(duì)稱(chēng)性得：A（4，0），

沿x軸折疊后所得拋物線為：y=﹣ （x﹣2）2+

如圖②，圖象G對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為：y= ；

（3）解：如圖③，由題意得：

當(dāng)y=1時(shí)， （x﹣2）2﹣ =1，

解得：x1=2+ ，x2=2﹣ ，

∴C（2﹣ ，1），F(xiàn)（2+ ，1），

當(dāng)y=1時(shí)，﹣ （x﹣2）2+ =1，

解得：x1=3，x2=1，

∴D（1，1），E（3，1），

由圖象得：圖象G在直線l上方的部分，當(dāng)1＜x＜2或x＞2+ 時(shí)，函數(shù)y隨x增大而增大；

（4）解：∵D（1，1），E（3，1），

∴DE=3﹣1=2，

∵S△PDE= DEh≥1，

∴h≥1；

①當(dāng)P在C的左側(cè)或F的右側(cè)部分時(shí)，設(shè)P[m， ]，

∴h= （m﹣2）2﹣ ﹣1≥1，

（m﹣2）2≥10，

m﹣2≥ 或m﹣2≤﹣ ，

m≥2+ 或m≤2﹣ ，

②如圖③，作對(duì)稱(chēng)軸交拋物線G于H，交直線CD于M，交x軸于N，

∵H（2， ），

∴HM= ﹣1= ＜1，

∴點(diǎn)P不可能在DE的上方；

③∵M(jìn)N=1，

且O（0，0），A（4，0），

∴P不可能在CO（除O點(diǎn)）、OD、EA（除A點(diǎn)）、AF上，

∴P與O或A重合時(shí)，符合條件，

∴m=0或m=4；

綜上所述，△PDE的面積不小于1時(shí)，m的取值范圍是：m=0或m=4或m≤2﹣ 或m≥2+ ．

【解析】（1）把原點(diǎn)（0，0）代入解析式即可求出a的值，

∵拋物線y=a（x﹣2）2﹣ 經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O，

∴0=a（0﹣2）2﹣ ，

a= ，

所以答案是： ；
（2）在0<x<4內(nèi)翻折函數(shù)與點(diǎn)的關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)類(lèi)似，橫坐標(biāo)x不變，縱坐標(biāo)y 變?yōu)樗�的相反�?shù)，即-y=,y=;然后分段寫(xiě)出函數(shù)關(guān)系式；（3）數(shù)形結(jié)合，觀察出自左到右上升的圖像對(duì)應(yīng)的x范圍即為函數(shù)y隨x增大而增大的x范圍；（4）通過(guò)面積不小于1，轉(zhuǎn)化為不等式：S△PDE= DEh≥1，∴h≥1；h為P到DE的距離，經(jīng)過(guò)分析可知，P在原點(diǎn)或在C左側(cè)的拋物線上或F的右側(cè)拋物線上，解不等式即可求出.

【考點(diǎn)精析】利用二次函數(shù)圖象的平移對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知平移步驟：（1）配方 y=a(x-h)2+k，確定頂點(diǎn)（h,k）（2）對(duì)x軸左加右減；對(duì)y軸上加下減．