Question

如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，點P在AB上從A向B運動，連接DP交AC于點Q．
（1）試證明：無論點P運動到AB上何處時，都有△ADQ≌△ABQ；
（2）當點P在AB上運動到什么位置時，△ADQ的面積是正方形ABCD面積的；
（3）若點P從點A運動到點B，再繼續(xù)在BC上運動到點C，在整個運動過程中，當點P運動到什么位置時，△ADQ恰為等腰三角形．

Answer 1

【答案】分析：（1）可由SAS求得△ADQ≌△ABQ；
（2）過點Q作QE⊥AD于E，QF⊥AB于F，則QE=QF，若△ADQ的面積是正方形ABCD面積的，則有S_△ADQ=AD•QE=S_{正方形ABCD}，求得OE的值，再利用△DEQ∽△DAP有解得AP值；
（3）點P運動時，△ADQ恰為等腰三角形的情況有三種：有QD=QA或DA=DQ或AQ=AD．由正方形的性質(zhì)知，①當點P運動到與點B重合時，QD=QA，此時△ADQ是等腰三角形，②當點P與點C重合時，點Q與點C也重合，此時DA=DQ，△ADQ是等腰三角形，③當AD=AQ=4時，有CP=CQ，CP=AC-AD而由正方形的對角線的性質(zhì)得到CP的值．
解答：（1）證明：在正方形ABCD中，
無論點P運動到AB上何處時，都有
AD=AB，∠DAQ=∠BAQ，AQ=AQ，
∴△ADQ≌△ABQ；

（2）解法一：△ADQ的面積恰好是正方形ABCD面積的時，
過點Q作QE⊥AD于E，QF⊥AB于F，則QE=QF，
∵在邊長為4的正方形ABCD中，
∴S_{正方形ABCD}=16，
∴AD×QE=S_{正方形ABCD}=×16=，
∴QE=，
∵EQ∥AP，
∴△DEQ∽△DAP，
∴，即=，
解得AP=2，
∴AP=2時，△ADQ的面積是正方形ABCD面積的；
解法二：以A為原點建立如圖所示的直角坐標系，過點Q作QE⊥y軸于點E，QF⊥x軸于點F．
AD×QE=S_{正方形ABCD}=×16=，
∴QE=，
∵點Q在正方形對角線AC上，
∴Q點的坐標為（，），
∴過點D（0，4），Q（，）兩點的函數(shù)關系式為：y=-2x+4，
當y=0時，x=2，
∴P點的坐標為（2，0），
∴AP=2時，即當點P運動到AB中點位置時，△ADQ的面積是正方形ABCD面積的；

（3）解：若△ADQ是等腰三角形，則有QD=QA或DA=DQ或AQ=AD，
①當AD=DQ時，則∠DQA=∠DAQ=45°
∴∠ADQ=90°，P為C點，
②當AQ=DQ時，則∠DAQ=∠ADQ=45°，
∴∠AQD=90°，P為B，
③AD=AQ（P在BC上），
∴CQ=AC-AQ=BC-BC=（-1）BC
∵AD∥BC
∴=，即可得==1，
∴CP=CQ=（-1）BC=4（-1）
綜上，P在B點，C點，或在CP=4（-1）處，△ADQ是等腰三角形．
點評：本題利用了正方形的性質(zhì)，全等三角形和相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形的面積公式，等腰三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)求解．