Question

【題目】在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，D為AC中點，點P是線段AD上的一點，點P與點A、點D不重合），連接BP．將△ABP繞點P按順時針方向旋轉(zhuǎn)α角（0°＜α＜180°），得到△A1B1P，連接A1B1、BB1

（1）如圖①，當(dāng)0°＜α＜90°，在α角變化過程中，請證明∠PAA1＝∠PBB1．

（2）如圖②，直線AA1與直線PB、直線BB1分別交于點E，F．設(shè)∠ABP＝β，當(dāng)90°＜α＜180°時，在α角變化過程中，是否存在△BEF與△AEP全等？若存在，求出α與β之間的數(shù)量關(guān)系；若不存在，請說明理由；

（3）如圖③，當(dāng)α＝90°時，點E、F與點B重合．直線A1B與直線PB相交于點M，直線BB′與AC相交于點Q．若AB＝，設(shè)AP＝x，CQ＝y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）α﹣2β＝90°；（3）y＝．

【解析】

（1）先利用旋轉(zhuǎn)得出兩個頂角相等的兩個等腰三角形，即可得出結(jié)論；
（2）假設(shè)存在，然后利用確定的出AE=BE，即可求出∠A1AP=∠AA1P，最后用∠BAC=45°建立方程化簡即可；
（3）先判斷出△ABQ∽△CPB，得出比例式即可得出結(jié)論．

解：（1）∵將△ABP繞點P按順時針方向旋轉(zhuǎn)α角（0°＜α＜180°），得到△A1B1P，

∴∠APA1＝∠BPB1＝α，AP＝A1P，BP＝B1P，

∴∠AA1P＝∠A1AP＝＝，∠BB1P＝∠B1BP＝＝，

∴∠PAA1＝∠PBB1，

（2）假設(shè)在α角變化的過程中，存在△BEF與△AEP全等，

∵△BEF與△AEP全等，

∴AE＝BE，

∴∠ABE＝∠BAE＝β，

∵AP＝A1P，

∴∠A1AP＝∠AA1P＝，

∵AB＝BC，∠ABC＝90°，

∴∠BAC＝45°，

∴β+＝45°，

∴α﹣2β＝90°，

（3）當(dāng)α＝90°時，

∵AP＝A1P，BP＝B1P，∠APA1＝∠BPB2＝90°，

∴∠A＝∠PBB1＝45°，

∵∠A＝∠C，∠AQB＝∠C+∠QBC＝45°+∠QBC＝∠PBC，

∴△ABQ∽△CPB，

∴，

∵AB＝，

∴，

∴y＝．