【題目】如圖,點(diǎn)A0,8),點(diǎn)B40),連接AB,點(diǎn)MN分別是OA,AB的中點(diǎn),在射線MN上有一動(dòng)點(diǎn)P.若△ABP是直角三角形,則點(diǎn)P的坐標(biāo)是__

【答案】2+24)或(12,4).

【解析】

如圖,∠APB=90°,ABP=90°BAP=90°均可以使△ABP是直角三角形,故本題應(yīng)該對(duì)這三種情況分別進(jìn)行討論.

(1) APB=90°,如圖①.

過(guò)點(diǎn)PPGOB,垂足為G.

∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0, 8),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4, 0)

OA=8,OB=4.

∴在RtAOB .

∵點(diǎn)M,N分別是OA,AB的中點(diǎn),

MNOB , .

MNOBPGOB,

PG=OM=4.

設(shè)PN=xMP=MN+PN=2+x,

OG=MP=2+x,

BG=OG-OB=2+x-4=x-2.

∵在RtAMPAP2=AM2+PM2=42+(2+x)2=16+(2+x)2

RtBGP,BP2=BG2+PG2=(x-2)2+42=(x-2)2+16,

又∵在RtAPBAB2=AP2+BP2,

16+(2+x)2+(x-2)2+16==80.

x=,PN=.

OG=2+x=,PG =4.

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(, 4).

(2) ABP=90°如圖②.

過(guò)點(diǎn)PPGOB,垂足為G.

設(shè)PN=x,MP=OG=2+x,BG=x-2.

,AM=4,PG=4

又∵在RtAMP,AP2=16+(2+x)2,

RtBGP,BP2=(x-2)2+16

∴在RtAPB,AB2=AP2-BP2=16+(2+x)2-[(x-2)2+16]= =80.

x=10PN=10.

OG=2+x=2+10=12,PG=4.

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(12, 4).

(3) BAP=90°如圖③.

由圖③可以看出,在此種情況下點(diǎn)P不在射線MN上,不符合題意.

綜上所述,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(, 4)(12, 4).

故本題應(yīng)填寫(xiě):(, 4)(12, 4).

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