Question

【題目】如圖，四邊形 ABCD 中，AB⊥AD，BC⊥DC，點(diǎn) M、N 分別是 AB、BC 邊上的動(dòng)點(diǎn)，∠B＝56°．當(dāng)△DMN 的周長(zhǎng)最小時(shí)，則∠MDN 的度數(shù)是_____

Answer 1

【答案】68°.

【解析】

延長(zhǎng)DA至E點(diǎn)，使AD=AE,延長(zhǎng)DC至F點(diǎn)，使CD=CF,可得E、N、M、F在同一直線上時(shí)△DMN 的周長(zhǎng)最小，可得∠MDN的值.

解：如圖：

延長(zhǎng)DA至E點(diǎn)，使AD=AE,又AB⊥AD，可得點(diǎn)D和E關(guān)于AB對(duì)稱；

延長(zhǎng)DC至F點(diǎn)，使CD=CF，又BC⊥DC，可得D和F關(guān)于CB對(duì)稱,

連接EF,此時(shí)與AB、BC的交點(diǎn)N、M即為所求，連接DN、DM,

則：DN=EN,DM=MF,∠E=∠EDN, ∠E =∠FDM;

在四邊形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥DC，∠B＝56°，

易得∠ADC=180°-56°=124°,

在△DEF中, ∠E+∠F=180°-∠ADC=56°,

即∠EDN+∠FDM=56°，

∠MDN=∠ADC-（∠EDN+∠FDM）=124°-56°=68°，

故答案：68°.