Question

已知：如圖，BD、CE是△ABC的高，DG⊥BC與CE交于F，GD的延長線與BA的延長線交于點H．
求證：GD²=GF•GH．

Answer 1

證明：∵BD⊥AC，DG⊥BC，
∴∠DGC=∠DGB=90°，∠CDB=90°，
∴∠DCG+∠CDG=90°，∠CDG+∠BDG=90°，
∴∠DCG=∠BDG，
∵∠DGC=∠DGB，
∴△CGD∽△DGB，
∴，
∴DG²=BG•CG，
∵CE⊥AB，
∴∠ECB+∠CBE=90°，
又∠H+∠GBH=90°，
∴∠ECB=∠H，
∠FGC=∠HGB=90°，
∴△CGF∽△HGB，
∴，
∴GF•GH=BG•GC，
∴GD²=GF•GH．
分析：先證△CGD∽△DGB，推出DG²=BG•CG，再證△CGF∽△HGB得到比例式，推出GF•GH=BG•GC，即可求出答案．
點評：本題主要考查對相似三角形的性質和判定，三角形的內角和定理等知識點的理解和掌握，能求出DG²=BG•CG和GF•GH=BG•GC是解此題的關鍵．