如圖，在同一平面內(nèi)將兩個(gè)全等的等腰直角三角形ABC和AFG擺放在一起，A為公共頂點(diǎn)，∠BAC=∠AFG=90°，它們的斜邊長為2，若△ABC固定不動(dòng)，△AFG繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，AF、AG與邊BC的交點(diǎn)分別為D、E（點(diǎn)D不與點(diǎn)B重合，點(diǎn)E不與點(diǎn)C重合）
（1）求證：△ABE∽△DCA．
（2）若BD=數(shù)學(xué)公式，求CE．

（1）證明：∵∠BAE=∠BAD+45°，∠CDA=∠BAD+45°，
∴∠BAE=∠CDA，
又∵∠B=∠C=45°，
∴△ABE∽△DCA；

（2）解：∵△ABE∽△DCA，
∴=，
由依題意可知CA=BA=，
∴=，
∴=，
∴=，
解得CE=．
分析：（1）由圖形得∠BAE=∠BAD+45°，由外角定理，得∠CDA=∠BAD+45°，可得∠BAE=∠CDA，根據(jù)∠B=∠C=45°，證明兩個(gè)三角形相似；
（2）由勾股定理，得CA=BA=，由（1）的相似三角形的性質(zhì)，利用相似比即可求出CE．
點(diǎn)評：本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)．關(guān)鍵是通過圖形的旋轉(zhuǎn)，將條件“相對集中”．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在同一平面內(nèi)，將兩個(gè)全等的等腰直角三角形ABC和ADE擺放在一起，A為公共頂點(diǎn)，∠BAC=∠ADE=90°，它們的斜邊長為2，若△ABC固定不動(dòng)，△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，AE、AD與邊BC的交點(diǎn)分別為F、G （點(diǎn)F不與點(diǎn)C重合，點(diǎn)G不與點(diǎn)B重合），設(shè)BF=a，CG=b．
（1）請?jiān)趫D（1）中找出兩對相似但不全等的三角形，并選取其中一對進(jìn)行證明．
（2）求b與a的函數(shù)關(guān)系式，直接寫出自變量a的取值范圍．
（3）以△ABC的斜邊BC所在的直線為x軸，BC邊上的高所在的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系（如圖2）．若BG=CF，求出點(diǎn)G的坐標(biāo)，猜想線段BG、FG和CF之間的關(guān)系，并通過計(jì)算加以驗(yàn)證．
精英家教網(wǎng)

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在同一平面內(nèi)，將兩個(gè)全等的等腰直角三角形ABC和ADE擺放在一起，A為公共頂點(diǎn)，∠BAC=∠ADE=90°，若△ABC固定不動(dòng)，△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，AD、AE與邊BC的交點(diǎn)分別為F、G（點(diǎn)G不與點(diǎn)B重合，點(diǎn)F不與點(diǎn)C重合）．
（1）圖中共有
 
對相似三角形．（△ABC∽△DEA外）
（2）請選其中的一對說明理由．
（3）若等腰直角三角形的斜邊長為2，BF=m，CG=n、求m與n的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出自變量n的取值范圍．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在同一平面內(nèi)，將兩個(gè)全等的等腰直角三角形ABC和AFG擺放在一起，A為公共頂點(diǎn)，∠BAC=∠AGF=90°，它們的斜邊長為2，若△ABC固定不動(dòng)，△AFG繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，AF、AG與邊BC的交點(diǎn)分別為D、E（點(diǎn)D不與點(diǎn)B重合，點(diǎn)E不與點(diǎn)C重合），設(shè)BE=m，CD=n．
（1）△ABE與△DCA是否相似？請加以說明．
（2）求m與n的函數(shù)關(guān)系式，直接寫出自變量n的取值范圍．
（3）當(dāng)BE=CD時(shí)，分別求出線段BD、CE、DE的長，并通過計(jì)算驗(yàn)證BD2+CE2=DE2．
（4）在旋轉(zhuǎn)過程中，（3）中的等量關(guān)系BD2+CE2=DE2是否始終成立，若成立，請證明；若不成立，請說明理由．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在同一平面內(nèi)將兩個(gè)全等的等腰直角三角形ABC和AFG擺放在一起，A為公共頂點(diǎn)，∠BAC=∠AFG=90°，它們的斜邊長為2，若△ABC固定不動(dòng)，△AFG繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，AF、AG與邊BC的交點(diǎn)分別為D、E（點(diǎn)D不與點(diǎn)B重合，點(diǎn)E不與點(diǎn)C重合）
（1）求證：△ABE∽△DCA．
（2）若BD=
12
，求CE．

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