【題目】已知矩形ABCD的一條邊AD=8,EBC邊上的一點(diǎn),將矩形ABCD沿折痕AE折疊,使得頂點(diǎn)B落在CD邊上的點(diǎn)P處,PC=4(如圖1).

1)求AB的長;

2)擦去折痕AE,連結(jié)PB,設(shè)M是線段PA的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)M與點(diǎn)PA不重合).NAB沿長線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),并且滿足PM=BN.過點(diǎn)MMH⊥PB,垂足為H,連結(jié)MNPB于點(diǎn)F(如圖2).

MPA的中點(diǎn),求MH的長;

試問當(dāng)點(diǎn)M、N在移動(dòng)過程中,線段FH的長度是否發(fā)生變化?若變化,說明理由;若不變,求出線段FH的長度.

【答案】(1)10;(2; .

【解析】試題分析:(1)設(shè)AB=x,根據(jù)折疊可得AP=CD=x,DP=CD-CP=x-4,利用勾股定理,在Rt△ADP中,AD2+DP2=AP2,即82+x-42=x2,即可解答;

2過點(diǎn)AAGPB于點(diǎn)G,根據(jù)勾股定理求出PB的長,由AP=AB,所以PG=BG=PB=,在RtAGP中,AG=,

AGPBMHPB,所以MHAG,根據(jù)MPA的中點(diǎn),所以HPG的中點(diǎn),根據(jù)中位線的性質(zhì)得到MH=AG=

MQAN,交PB于點(diǎn)Q,求出MP=MQ,BN=QM,得出MP=MQ,根據(jù)MHPQ,得出HQ=PQ,根據(jù)QMF=BNF,證出MFQ≌△NFB,得出QF=QB,再求出EF=PB,最后代入HF=PB即可得出線段EF的長度不變.

試題解析:(1)設(shè)AB=x,則AP=CD=x,DP=CD-CP=x-4,

Rt△ADP中,AD2+DP2=AP2,

82+x-42=x2,

解得:x=10

AB=10

2如圖2,過點(diǎn)AAG⊥PB于點(diǎn)G

由(1)中的結(jié)論可得:PC=4,BC=8,∠C=90°

PB=,

∵AP=AB,

PG=BG=PB=

RtAGP中,AG=,

∵AG⊥PB,MH⊥PB

∴MH∥AG,

∵M(jìn)PA的中點(diǎn),

∴HPG的中點(diǎn),

MH=AG=

當(dāng)點(diǎn)M、N在移動(dòng)過程中,線段FH的長度是不發(fā)生變化;

MQ∥AN,交PB于點(diǎn)Q,如圖3

∵AP=AB,MQ∥AN,

∴∠APB=∠ABP=∠MQP

∴MP=MQ,

∵BN=PM,

∴BN=QM

∵M(jìn)P=MQ,MH⊥PQ,

EQ=PQ

∵M(jìn)Q∥AN,

∴∠QMF=∠BNF,

△MFQ△NFB中,

,

∴△MFQ≌△NFBAAS).

QF=QB,

HF=HQ+QF=PQ+QB=PB=

當(dāng)點(diǎn)M、N在移動(dòng)過程中,線段FH的長度是不發(fā)生變化,長度為

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