Question

已知△ABC中，∠ABC=90゜，AB=BC，點A、B分別是x軸和y軸上的一動點．

（1）如圖1，若點C的橫坐標(biāo)為4，求點B的坐標(biāo)；

（2）如圖2，BC交x軸于D，AD平分∠BAC，若點C的縱坐標(biāo)為3，A（5，0），求點D的坐標(biāo)．

（3）如圖3，分別以O(shè)B、AB為直角邊在第三、四象限作等腰直角△OBF和等腰直角△ABE，EF交y軸于M，求 S_△BEM：S_△ABO．

 

Answer 1

【答案】

(1) B（0，-4）;(2) D（-1，0）;(3) S_△BEM：S_△ABO=1：2.

【解析】

試題分析：(1) 一般情況下,給了一個點的橫坐標(biāo),都把這個點的橫坐標(biāo)作出來, 作CM⊥y軸于點M，要想求出B點坐標(biāo),只需要求出線段OB的長度,直觀上看△BCM≌△ABO ,找全等的條件, 因為∠ABC=∠AOB=90゜，

所以∠CBM+∠ABO=90°，∠ABO+∠OAB=90°，所以∠CBM=∠BAO，再由題目中的條件,全等的條件已經(jīng)夠了,在△BCM和△ABO中, ∠CBM=∠BAO, ∠BMC=∠AOB=90゜，AB=BC,所以△BCM≌△ABO（AAS），OB=CM=4，

B（0，-4）;(2) 要想求出D點坐標(biāo),只需要求出線段OD的長度,但條件中與OD關(guān)聯(lián)的條件很少,考慮作輔助線,作CM⊥x軸于點M，交AB的延長線于點N，則∠AMC=∠AMN=90°，因為點C的縱坐標(biāo)為3，所以CM=3，

因為AD平分∠CAB，所以∠CAM=∠NAM，所以△AMC≌△AMN（ASA），所以CM=MN=3，CN=6，因為CM⊥AD，∠CBA=90°，所以∠CBN=∠CMD=∠ABD=90°，因為∠CDM=∠BDA，∠CMD+∠CDM+∠NCB=180°，∠BDA+∠BAD+∠DBA=180°，所以∠NCB=∠BAD，所以△CBN≌△ABD（ASA），所以AD=6，因為A（5，0），D（-1，0）;(3) 作EN⊥y軸于點N，因為∠ENB=∠BOA=∠ABE=90°，所以∠OBA+∠NBE=90°，∠OBA+∠OAB=90°，

所以∠NBE=∠BAO，所以△ABO≌△BEN（AAS），所以△ABO的面積=△BEN的面積，OB=NE=BF，因為∠OBF=∠FBM=∠BNE=90°，所以△BFM≌△NEM（AAS），所以BM=NM，因為△BME邊BM上的高和△NME的邊MN上的高相等，所以S_△BEN=S_△BEM=S_△BEN=S_△ABO，即S_△BEM：S_△ABO=1：2．S_△BEM：S_△ABO=1：2.

試題解析：

（1）如圖1，作CM⊥y軸于點M，則CM=4，

∵∠ABC=∠AOB=90゜，

∴∠CBM+∠ABO=90°，∠ABO+∠OAB=90°，

∴∠CBM=∠BAO，

在△BCM和△ABO中, ∠CBM=∠BAO, ∠BMC=∠AOB=90゜，AB=BC,

∴△BCM≌△ABO（AAS），

∴OB=CM=4，

∴B（0，-4）．

（2）如圖2，作CM⊥x軸于點M，交AB的延長線于點N，

則∠AMC=∠AMN=90°，

∵點C的縱坐標(biāo)為3，

∴CM=3，

∵AD平分∠CAB，

∴∠CAM=∠NAM，

在△CAM和△NAM中, ∠AMC=∠AMN=90°,AM=AM,∠CAM=∠NAM，

∴△AMC≌△AMN（ASA），

∴CM=MN=3，

∴CN=6，

∵CM⊥AD，∠CBA=90°，

∴∠CBN=∠CMD=∠ABD=90°，

∵∠CDM=∠BDA，∠CMD+∠CDM+∠NCB=180°，∠BDA+∠BAD+∠DBA=180°，

∴∠NCB=∠BAD，

在△CBN和△ABD中, ∠CBN=∠ABD,CB=AB, ∠NCB=∠BAD,

∴△CBN≌△ABD（ASA），

∴AD=CN=2CM=6，

∵A（5，0），

∴D（-1，0）．

（3）如圖3，作EN⊥y軸于點N，

∵∠ENB=∠BOA=∠ABE=90°，

∴∠OBA+∠NBE=90°，∠OBA+∠OAB=90°，

∴∠NBE=∠BAO，

在△ABO和△BEN中, ∠ENB=∠BOA, ∠NBE=∠BAO，AB=BE,

∴△ABO≌△BEN（AAS），

∴△ABO的面積=△BEN的面積，OB=NE=BF，

∵∠OBF=∠FBM=∠BNE=90°，

∴在△BFM和△NEM中, ∠FBM=∠BNE , ∠BMF=∠NME,NE=BF,

∴△BFM≌△NEM（AAS），

∴BM=NM，

∵△BME邊BM上的高和△NME的邊MN上的高相等，

∴S_△BEN=S_△BEM=S_△BEN=S_△ABO，

即S_△BEM：S_△ABO=1：2．

考點：全等三角形的證明方法.