Question

【題目】某數(shù)學(xué)活動(dòng)小組在作等邊三角形的拓展圖形，研究其性質(zhì)時(shí)，經(jīng)歷了如下過(guò)程：

操作發(fā)現(xiàn)：在等腰△ABC中，AB=AC，分別以AB和AC為斜邊，向△ABC的外側(cè)作等腰直角三角形，如圖1所示，其中DF⊥AB于點(diǎn)F，EG⊥AC于點(diǎn)G，M是BC的中點(diǎn)，連接MD和ME，則下列結(jié)論正確的是____(填序號(hào)即可)

；；整個(gè)圖形是軸對(duì)稱圖形；．

數(shù)學(xué)思考：在任意中，分別以AB和AC為斜邊，向的外側(cè)作等腰直角三角形，如圖2所示，M是BC的中點(diǎn)，連接MD和ME，則MD與ME具有怎樣的數(shù)量和位置關(guān)系？請(qǐng)給出證明過(guò)程；

類比研究：在任意中，仍分別以AB和AC為斜邊，向的內(nèi)側(cè)作等腰直角三角形，如圖3所示，M是BC的中點(diǎn)，連接MD和ME，試判斷的形狀？

Answer 1

【答案】操作發(fā)現(xiàn)：①②③④.；數(shù)學(xué)思考：，，理由見(jiàn)解析；類比探究：是等腰直角三角形

【解析】

操作發(fā)現(xiàn)：由條件可以通過(guò)三角形全等和軸對(duì)稱的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)就可以得出結(jié)論；

數(shù)學(xué)思考：作AB、AC的中點(diǎn)F、G，連接DF，MF，EG，MG，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半、三角形的中位線的性質(zhì)就可以得出四邊形AFMG是平行四邊形，依據(jù)平行四邊形的對(duì)角相等及三角形全等的判定，可得≌，根據(jù)其性質(zhì)就可以得出結(jié)論；

類比探究：作AB、AC的中點(diǎn)F、G，連接DF，MF，EG，MG，DF和MG相交于H，根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)可以得出≌，由全等三角形的性質(zhì)就可以得出結(jié)論.

解：（操作發(fā)現(xiàn)）

和是等腰直角三角形，于點(diǎn)F，于點(diǎn)G，

，

，．

又，

，故正確；

∵在和中，

≌，

，，

是BC的中點(diǎn)，

．

，

，

，

即．

在和中，

≌，

故正確；

連接AM，根據(jù)前面的證明可以得出將圖形1沿AM對(duì)折左右兩部分能完全重合，

整個(gè)圖形是軸對(duì)稱圖形，故正確．

，，

，

，

又∵，

∴，

又∵，

∴，

∴,

同理,

又∵在中，+==,

∴+=,

即=,

∴,

∴，

故正確，

故答案為：①②③④.

（數(shù)學(xué)思考）

，．理由如下：

作AB、AC的中點(diǎn)F、G，連接DF，MF，EG，MG，則，．

又是BC的中點(diǎn)，

，，

四邊形AFMG是平行四邊形，

，，．

和是等腰直角三角形，，．

，，，，

，，．

，，，

．

在和中，

≌，

，．

，

．

，

，

，

，

即，

．

，；

（類比探究）

作AB、AC的中點(diǎn)F、G，連接DF，MF，EG，MG，DF和MG相交于H，

點(diǎn)M、F、G分別是BC、AB、AC的中點(diǎn)，

，，，，

四邊形MFAG是平行四邊形，

，

和是等腰直角三角形，

，，

，，，

即．

在和中，

≌，

，．

，

，

，

，

即，

為等腰直角三角形．