Question

【題目】如圖，已知數(shù)軸上有三點(diǎn)A、B、C，若用AB表示A、B兩點(diǎn)的距離，AC表示A、C兩點(diǎn)的距離，且AB＝AC，點(diǎn)A、點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的數(shù)是分別是a、c，且|a+40|+|c﹣20|＝0．

（1）求BC的長(zhǎng)．

（2）若點(diǎn)P、Q分別從A、C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)向左運(yùn)動(dòng)，速度分別為2個(gè)單位長(zhǎng)度每秒、5個(gè)單位長(zhǎng)度每秒，則運(yùn)動(dòng)了多少秒時(shí)，Q到B的距離與P到B的距離相等？

（3）若點(diǎn)P、Q仍然以（2）中的速度分別從A、C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)向左運(yùn)動(dòng)，2秒后，動(dòng)點(diǎn)R從A點(diǎn)出發(fā)向右運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)R的速度為1個(gè)單位長(zhǎng)度每秒，點(diǎn)M為線段PR的中點(diǎn)，點(diǎn)N為線段RQ的中點(diǎn)，點(diǎn)R運(yùn)動(dòng)了多少秒時(shí)恰好滿足MN+AQ＝31；并求出此時(shí)R點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)．

Answer 1

【答案】（1）BC＝40；（2）運(yùn)動(dòng)了秒或20秒時(shí)，Q到B的距離與P到B的距離相等；（3）點(diǎn)R運(yùn)動(dòng)了秒或秒時(shí)恰好滿足MN+AQ＝31，此時(shí)點(diǎn)R所對(duì)應(yīng)的數(shù)為﹣或﹣．

【解析】

（1）由絕對(duì)值的非負(fù)性可求出a，c的值，進(jìn)而可得出線段AC的長(zhǎng)，結(jié)合AB= AC可求出AB的長(zhǎng)，由BC=AC-AB可求出線段BC的長(zhǎng)；
（2）由AB的長(zhǎng)結(jié)合點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的數(shù)可求出點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的數(shù)，當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒時(shí)，點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的數(shù)為-2t-40，點(diǎn)Q對(duì)應(yīng)的數(shù)為-5t+20，由Q到B的距離與P到B的距離相等，可得出關(guān)于t的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論；
（3）當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（t＞2）秒時(shí)，點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的數(shù)為-2t-40，點(diǎn)Q對(duì)應(yīng)的數(shù)為-5t+20，點(diǎn)R對(duì)應(yīng)的數(shù)為t-2-40，結(jié)合點(diǎn)M為線段PR的中點(diǎn)及點(diǎn)N為線段RQ的中點(diǎn)可得出點(diǎn)M，N對(duì)應(yīng)的數(shù)，進(jìn)而可得出線段MN的長(zhǎng)，結(jié)合MN+AQ=31可得出關(guān)于t的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論．

（1）∵|a+40|+|c﹣20|＝0，

∴a+40＝0，c﹣20＝0，

∴a＝﹣40，c＝20，

∴AC＝|﹣40﹣20|＝60．

∵AB＝AC＝20，

∴BC＝AC﹣AB＝40．

（2）∵AB＝20，點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的數(shù)為﹣40，且點(diǎn)B在點(diǎn)A的右邊，

∴點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的數(shù)為﹣20．

當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒時(shí)，點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的數(shù)為﹣2t﹣40，點(diǎn)Q對(duì)應(yīng)的數(shù)為﹣5t+20，

∵Q到B的距離與P到B的距離相等，

∴|﹣2t﹣40﹣（﹣20）|＝|﹣5t+20﹣（﹣20）|，即2t+20＝40﹣5t或2t+20＝5t﹣40，

解得：t＝或t＝20．

答：運(yùn)動(dòng)了秒或20秒時(shí)，Q到B的距離與P到B的距離相等．

（3）當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（t＞2）秒時(shí)，點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的數(shù)為﹣2t﹣40，點(diǎn)Q對(duì)應(yīng)的數(shù)為﹣5t+20，點(diǎn)R對(duì)應(yīng)的數(shù)為t﹣2﹣40，

∵點(diǎn)M為線段PR的中點(diǎn)，點(diǎn)N為線段RQ的中點(diǎn)，AQ＝|﹣40﹣（﹣5t+20）|＝|5t﹣60|，

∴點(diǎn)M對(duì)應(yīng)的數(shù)為＝﹣﹣41，點(diǎn)N對(duì)應(yīng)的數(shù)為＝﹣2t﹣11，

∴MN＝|﹣﹣41﹣（﹣2t﹣11）|＝|t﹣30|．

∵MN+AQ＝31，

∴|t﹣30|+|5t﹣60|＝31．

當(dāng)2＜t＜12時(shí)，30﹣t+60﹣5t＝31，

解得：t＝；

當(dāng)12≤t≤20時(shí)，30﹣t+5t﹣60＝31，

解得：t＝；

當(dāng)t＞20時(shí)，t﹣30+5t﹣60＝31，

解得：t＝（不合題意，舍去）．

∴t﹣2＝﹣或﹣．

當(dāng)t＝時(shí)，點(diǎn)R對(duì)應(yīng)的數(shù)為﹣；當(dāng)t＝時(shí)，點(diǎn)R對(duì)應(yīng)的數(shù)為﹣．

∴點(diǎn)R運(yùn)動(dòng)了秒或秒時(shí)恰好滿足MN+AQ＝31，此時(shí)點(diǎn)R所對(duì)應(yīng)的數(shù)為﹣或﹣．