Question

【題目】如圖，直線y＝x+3與x軸、y軸分別相交于A、C兩點(diǎn)，過點(diǎn)B（6，0），E（0，﹣6）的直線上有一點(diǎn)P，滿足∠PCA＝135°．

（1）求證：四邊形ACPB是平行四邊形；

（2）求直線BE的解析式及點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）點(diǎn)P的坐標(biāo)為（9，3）．

【解析】

（1）利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出點(diǎn)A、C的坐標(biāo)，進(jìn)而可得出∠CAO=45°，結(jié)合∠PCA=135°可得出∠CAO+∠PCA=180°，利用“同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行”可得出AB∥CP，同理可求出∠ABE=45°=∠CAO，利用“內(nèi)錯角相等，兩直線平行”可得出AC∥BP，再利用平行四邊形的判定定理可證出四邊形ACPB為平行四邊形；
（2）由點(diǎn)B、E的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求出直線BE的解析式，由AB∥CP可得出點(diǎn)P的縱坐標(biāo)，再利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

（1）∵直線y＝x+3與x軸、y軸分別相交于A、C兩點(diǎn)，

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣3，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3），

∴OA＝OC．

∵∠AOC＝90°，

∴∠CAO＝45°．

∵∠PCA＝135°，

∴∠CAO+∠PCA＝180°，

∴AB∥CP．

∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（6，0），點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，﹣6），

∴OB＝OE．

∵∠BOE＝90°，

∴∠OBE＝45°，

∴∠CAO＝∠ABE＝45°，

∴AC∥BP，

∴四邊形ACPB為平行四邊形．

（2）設(shè)直線BE的解析式為y＝kx+b（k≠0），

將B（6，0）、E（0，﹣6）代入y＝kx+b，得：

，解得：

∴直線BE的解析式為y＝x﹣6．

∵AB∥CP，

∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)是3，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（9，3）．