Question

如圖，已知拋物線y=x²-1與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C．過點A作AP∥BC交拋物線于點P．
（1）求A、B、C三點的坐標以及直線BC的解析式；
（2）求點P的坐標以及四邊形ACBP的面積；
（3）在拋物線上是否存在點M，過點M作MN垂直x軸于點N，使以A、M、N三點為頂點的三角形與三角形PCA相似？若存在，求出M點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）令y=0，直接得出 A，B，C三點的坐標以及直線BC的解析式；
（2）過點P作PE⊥x軸于E，則△APE為等腰直角三角形，令OE=a，則PE=a+1，可求得PE的值，從而得出答案；
（3）首先假設(shè)存在，利用三角形相似的性質(zhì)，分別分析改變對應(yīng)邊得出符合要求的解．
解答：解：（1）令y=0，得x²-1=0，
解得x=±1，
令x=0，得y=x-1，
∴A（-1，0），B（1，0），C（0，-1）；
設(shè)直線BC的解析式為：y=kx+b，
∴，得，
∴y=x-1；

（2）∵OA=OB=OC=1，
∴∠BAC=∠ACO=∠BCO=45°，
∵AP∥CB，
∴∠PAB=45°，
過點P作PE⊥x軸于E，則△APE為等腰直角三角形，
令OE=a，則PE=a+1，
∴P（a，a+1），
∵點P在拋物線y=x²-1上，
∴a+1=a²-1
解得：a₁=2，a₂=-1（不合題意，舍去），
∴PE=3，
∴四邊形ACBP的面積=AB×OC+AB×PE=1+3=4；

（3）假設(shè)存在．
∵∠PAB=∠BAC=45°，
∴PA⊥AC，
∵MN⊥x軸于點N，
∴∠MNA=∠PAC=90°，
在Rt△AOC中，OA=OC=1，
∴AC=，
在Rt△PAE中，AE=PE=3，
∴AP=3，
設(shè)M點的橫坐標m，則M（m，m²-1），
①點M在y軸右側(cè)時，則m＞1，
（ⅰ） 當△AMN∽△PCA時，
∵AN=m+1，MN=m²-1，
，即=，
解得：m=，
∴M（，）；
（ⅱ） 當△MAN∽△PCA時，
，即=，
解得：m=4，
∴M（4，15）；
②點M在y軸左側(cè)時，則m＜-1，
（�。� 當△AMN∽△PCA時，
∵AN=-m-1，MN=m²-1，
∴=，
∴=，
解得m₁=-1（舍去），m₂=（舍去），
∴M不存在；
（ⅱ） 當△MAN∽△PCA時，
∵AN=-m-1，MN=m²-1，
∴=，
=，
解得：m₁=-1（舍去），m₂=-2，
∴M（-2，3），
∴存在點M，使以A、M、G三點為頂點的三角形與△PCA相似
M點的坐標為（-2，3），（，），（4，15）．
點評：此題主要考查了函數(shù)的交點、直角三角形的判定和相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，主要考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，以及分類討論思想的應(yīng)用，同學(xué)們應(yīng)注意不要漏解．