Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=ax²+bx﹣4與x軸交于點A（﹣2，0）和點B，與y軸交于點C，直線x=1是該拋物線的對稱軸．

（1）求拋物線的解析式；

（2）若兩動點M，H分別從點A，B以每秒1個單位長度的速度沿x軸同時出發(fā)相向而行，當點M到達原點時，點H立刻掉頭并以每秒個單位長度的速度向點B方向移動，當點M到達拋物線的對稱軸時，兩點停止運動，經(jīng)過點M的直線l⊥x軸，交AC或BC于點P，設(shè)點M的運動時間為t秒（t＞0）．求點M的運動時間t與△APH的面積S的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值．

Answer 1

解：（1）∵拋物線y=ax²+bx﹣4與x軸交于點A（﹣2，0），直線x=1是該拋物線的對稱軸，

∴，解得：，∴拋物線的解析式是：y=x²﹣x﹣4，

（2）分兩種情況：

①當0＜t≤2時，∵PM∥OC，∴△AMP∽△AOC，

∴=，即=，∴PM=2t．

解方程x²﹣x﹣4=0，得x₁=﹣2，x₂=4，

∵A（﹣2，0），∴B（4，0），∴AB=4﹣（﹣2）=6．

∵AH=AB﹣BH=6﹣t，

∴S=PM•AH=×2t（6﹣t）=﹣t²+6t=﹣（t﹣3）²+9，

當t=2時S的最大值為8；

②當2＜t≤3時，過點P作PM⊥x軸于M，作PF⊥y軸于點F，則△COB∽△CFP，

又∵CO=OB，

∴FP=FC=t﹣2，PM=4﹣（t﹣2）=6﹣t，AH=4+（t﹣2）=t+1，

∴S=PM•AH=（6﹣t）（t+1）=﹣t²+4t+3=﹣（t﹣）²+，

當t=時，S最大值為．

綜上所述，點M的運動時間t與△APQ面積S的函數(shù)關(guān)系式是S=，S的最大值為．