Question

【題目】如圖，正方形ABCO的邊OA、OC在坐標(biāo)軸上，點(diǎn)B坐標(biāo)為（8，8），將正方形ABCO繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度α（0°＜α＜90°），得到正方形CDEF，ED交線段AB于點(diǎn)G，ED的延長線交線段OA于點(diǎn)H，連CH、CG．

（1）求證：△CBG≌△CDG；

（2）求∠HCG的度數(shù)；判斷線段HG、OH、BG的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

（3）連結(jié)BD、DA、AE、EB得到四邊形AEBD，在旋轉(zhuǎn)過程中，四邊形AEBD能否為矩形？如果能，請求出點(diǎn)H的坐標(biāo)；如果不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）HG=HD+DG=HO+BG；（3）H點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，0）．

【解析】

試題分析：（1）求證全等，觀察兩個(gè)三角形，發(fā)現(xiàn)都有直角，而CG為公共邊，進(jìn)而再鎖定一條直角邊相等即可，因?yàn)槠錇檎�方形旋轉(zhuǎn)得到，所以邊都相等，即結(jié)論可證．

（2）根據(jù)（1）中三角形全等可以得到對應(yīng)邊、角相等，即BG=DG，∠DCG=∠BCG．同第一問的思路容易發(fā)現(xiàn)△CDH≌△COH，也有對應(yīng)邊、角相等，即OH=DH，∠OCH=∠DCH．于是∠GCH為四角的和，四角恰好組成直角，所以∠GCH=90°，且容易得到OH+BG=HG．

（3）四邊形AEBD若為矩形，則需先為平行四邊形，即要對角線互相平分，合適的點(diǎn)只有G為AB中點(diǎn)的時(shí)候．由上幾問知DG=BG，所以此時(shí)同時(shí)滿足DG=AG=EG=BG，即四邊形AEBD為矩形．求H點(diǎn)的坐標(biāo)，可以設(shè)其為（x，0），則OH=x，AH=6﹣x．而BG為AB的一半，所以DG=BG=AG=3．又由（2），HG=x+3，所以Rt△HGA中，三邊都可以用含x的表達(dá)式表達(dá)，那么根據(jù)勾股定理可列方程，進(jìn)而求出x，推得H坐標(biāo)．

（1）證明：∵正方形ABCO繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)得到正方形CDEF，

∴CD=CB，∠CDG=∠CBG=90°．

在Rt△CDG和Rt△CBG中，

，

∴△CDG≌△CBG（HL）；

（2）解：∵△CDG≌△CBG，

∴∠DCG=∠BCG，DG=BG．

在Rt△CHO和Rt△CHD中，

∵，

∴△CHO≌△CHD（HL），

∴∠OCH=∠DCH，OH=DH，

∴∠HCG=∠HCD+∠GCD=∠OCD+∠DCB=∠OCB=45°，

∴HG=HD+DG=HO+BG；

（3）解：四邊形AEBD可為矩形．

如圖，連接BD、DA、AE、EB，四邊形AEBD若為矩形，則需先為平行四邊形，即要對角線互相平分，合適的點(diǎn)只有G為AB中點(diǎn)的時(shí)候．

∵DG=BG，

∴DG=AG=EG=BG，即平行四邊形AEBD對角線相等，則其為矩形，

∴當(dāng)G點(diǎn)為AB中點(diǎn)時(shí)，四邊形AEBD為矩形．

∵四邊形DAEB為矩形，

∴AG=EG=BG=DG．

∵AB=6，

∴AG=BG=3．

設(shè)H點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，0），則HO=x

∵OH=DH，BG=DG，

∴HD=x，DG=3．

在Rt△HGA中，

∵HG=x+3，GA=3，HA=6﹣x，

∴（x+3）2=32+（6﹣x）2，解得x=2．

∴H點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，0）．