Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，點C為⊙O上一點，AE和過點C的切線互相垂直，垂足為E，AE交⊙O于點D，直線EC交AB的延長線于點P，連接AC，BC．

（1）求證：AC平分∠BAD；

（2）若AB=6，AC=4，求EC和PB的長．

Answer 1

【答案】（1）答案見解析；（2）EC=，PB=．

【解析】分析：（1）首先連接OC，由PE是 O的切線，AE和過點C的切線互相垂直，可證得OC∥AE，又由OA=OC，易證得∠DAC=∠OAC，即可得AC平分∠BAD；（2）由Rt△ABC∽Rt△ACE得出CE的值，再由Rt△ABC∽Rt△ACE，得出PB的值.

本題解析：

（1）證明：連接OC，∵PE是⊙O的切線，∴OC⊥PE，∵AE⊥PE，∴OC∥AE，∴∠DAC=∠OCA，∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC，∴∠DAC=∠OAC，∴AC平分∠BAD；

（2）∵AB是⊙O的直徑，∠ACB=90°

在Rt△ABC中，AB=6，AC=4，∴BC=，在Rt△ABC和Rt△ACE中，∵∠DAC=∠OAC，∠AEC=∠ACB=90°，∴Rt△ABC∽Rt△ACE，∴，∴，∴EC=

在Rt△ACE中，AE=，OC==3

又∵OC∥AE，∴Rt△ABC∽Rt△ACE，∴，∴ ，解得：PB=