Question

【題目】已知二次函數(shù)y=x2﹣（a﹣1）x+a﹣2，其中a是常數(shù)．
（1）求證：不論a為何值，該二次函數(shù)的圖象與x軸一定有公共點(diǎn)；
（2）當(dāng)a=4時(shí)，該二次函數(shù)的圖象頂點(diǎn)為A，與x軸交于B，D兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，求四邊形ABCD的面積．

Answer 1

【答案】
（1）證明：y=x2﹣（a﹣1）x+a﹣2．

因?yàn)閇﹣（a﹣1）]2﹣4（a﹣2）=（a﹣3）2≥0．

所以，方程x2﹣（a﹣1）x+a﹣2=0有實(shí)數(shù)根．

所以，不論a為何值，該函數(shù)的圖象與x軸總有公共點(diǎn)；

（2）解：由題可知：當(dāng)a=4時(shí)，y=x2﹣3x+2，

因?yàn)閥=x2﹣3x+2=（x﹣ ）2﹣ ，所以A（ ，﹣ ），

當(dāng)y=0時(shí)，x2﹣3x+2=0，解得x1=1，x2=2，所以B（1，0），D（2，0），

當(dāng)x=0時(shí)，y=2，所以C（0，2），

所以S四邊形ABCD=S△ABD+S△BDC= +1= ．

【解析】（1）利用根的判別式符號(hào)進(jìn)行證明；（2）由拋物線解析式求得點(diǎn)B、C、D的坐標(biāo)，然后利用分割法來(lái)求四邊形ABCD的面積．
【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，掌握一元二次方程的解是其對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的圖像與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函數(shù)中表示圖像與x軸是否有交點(diǎn)．當(dāng)b2-4ac>0時(shí)，圖像與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)b2-4ac=0時(shí)，圖像與x軸有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)b2-4ac<0時(shí)，圖像與x軸沒(méi)有交點(diǎn)．即可以解答此題．