Question

如圖，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（0，﹣6）的拋物線y=x²+bx+c與x軸相交于B（﹣2，0），C兩點(diǎn)．

（1）求此拋物線的函數(shù)關(guān)系式和頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）將（1）中求得的拋物線向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移m（m＞0）個(gè)單位長(zhǎng)度得到新拋物線y₁，若新拋物線y₁的頂點(diǎn)P在△ABC內(nèi)，求m的取值范圍；

（3）在（2）的結(jié)論下，新拋物線y₁上是否存在點(diǎn)Q，使得△QAB是以AB為底邊的等腰三角形？請(qǐng)分析所有可能出現(xiàn)的情況，并直接寫出相對(duì)應(yīng)的m的取值范圍．

Answer 1

解：（1）將A（0，﹣6），B（﹣2，0）代入y=x²+bx+c，

得：，

解得：，

∴y=x²﹣2x﹣6，

∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，﹣8）；

（2）將（1）中求得的拋物線向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移m（m＞0）個(gè)單位長(zhǎng)度得到新拋物線y₁=（x﹣2+1）²﹣8+m，

∴P（1，﹣8+m），

在拋物線y=x²﹣2x﹣6中易得C（6，0），

∴直線AC為y₂=x﹣6，

當(dāng)x=1時(shí)，y₂=﹣5，

∴﹣5＜﹣8+m＜0，

解得：3＜m＜8；

（3）∵A（0，﹣6），B（﹣2，0），

∴線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，﹣3），直線AB的解析式為y=﹣3x﹣6，

∴過(guò)AB的中點(diǎn)且與AB垂直的直線的解析式為：y=x﹣，

∴直線y=x﹣與x=1的交點(diǎn)坐標(biāo)為（1，﹣），

∴此時(shí)的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，﹣），

∴此時(shí)向上平移了8﹣=個(gè)單位，

∴①當(dāng)3＜m＜時(shí)，存在兩個(gè)Q點(diǎn)，可作出兩個(gè)等腰三角形；      

②當(dāng)m=時(shí)，存在一個(gè)點(diǎn)Q，可作出一個(gè)等腰三角形；

③當(dāng)＜m＜8時(shí)，Q點(diǎn)不存在，不能作出等腰三角形．