【題目】在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,AD⊥BC于點(diǎn)D.
(1)如圖1,點(diǎn)M,N分別在AD,AB上,且∠BMN=90°,當(dāng)∠AMN=30°,AB=2時(shí),求線段AM的長;
(2)如圖2,點(diǎn)E,F分別在AB,AC上,且∠EDF=90°,求證:BE=AF;
(3)如圖3,點(diǎn)M在AD的延長線上,點(diǎn)N在AC上,且∠BMN=90°,求證:AB+AN=AM.
【答案】(1)﹣;(2)證明見解析;(3)見解析
【解析】
(1)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)得到AD=BD=DC=,求出∠MBD=30°,根據(jù)勾股定理計(jì)算即可;
(2)證明△BDE≌△ADF,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明;
(3)過點(diǎn)M作ME∥BC交AB的延長線于E,證明△BME≌△AMN,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BE=AN,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理證明結(jié)論.
解:(1)∵∠BAC=90°,AB=AC,AD⊥BC,
∴AD=BD=DC,∠ABC=∠ACB=45°,∠BAD=∠CAD=45°,
∵AB=2,
∴AD=BD=DC=,
∵∠AMN=30°,
∴∠BMD=180°﹣90°﹣30°=60°,
∴∠MBD=30°,
∴BM=2DM,
由勾股定理得,BM2﹣DM2=BD2,即(2DM)2﹣DM2=()2,
解得,DM=,
∴AM=AD﹣DM=﹣;
(2)∵AD⊥BC,∠EDF=90°,
∴∠BDE=∠ADF,
在△BDE和△ADF中
∴△BDE≌△ADF(ASA)
∴BE=AF;
(3)過點(diǎn)M作ME∥BC交AB的延長線于E,
∴∠AME=90°,
則AE=AM,∠E=45°,
∴ME=MA,
∵∠AME=90°,∠BMN=90°,
∴∠BME=∠AMN,
在△BME和△NMA中
∴△BME≌△AMN(ASA),
∴BE=AN,
∴AB+AN=AB+BE=AE=AM.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,點(diǎn)D在AB上,以AD為直徑的⊙O與BC相
交于點(diǎn)E,且AE平分∠BAC.
(1)求證:BC是⊙O的切線;
(2)若∠EAB=30°,OD=3,求圖中陰影部分的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,矩形ABCD中,點(diǎn)P為AD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),以PB 為對(duì)稱軸將△APB折疊得到△EPB,點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)E,射線BE交矩形ABCD的邊于點(diǎn) F,若AB=4,AD=6,當(dāng)點(diǎn)F為矩形ABCD邊的中點(diǎn)時(shí),AP的長為_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】隨著生活質(zhì)量的提高,人們健康意識(shí)逐漸增強(qiáng),安裝凈水設(shè)備的百姓家庭越來越多.某廠家從去年開始投入生產(chǎn)凈水器,生產(chǎn)凈水器的總量y(臺(tái))與今年的生產(chǎn)天數(shù)x(天)的關(guān)系如圖所示.今年生產(chǎn)90天后,廠家改進(jìn)了技術(shù),平均每天的生產(chǎn)數(shù)量達(dá)到30臺(tái).
(1)求y與x之間的函數(shù)表達(dá)式;
(2)已知該廠家去年平均每天的生產(chǎn)數(shù)量與今年前90天平均每天的生產(chǎn)數(shù)量相同,求廠家去年生產(chǎn)的天數(shù);
(3)如果廠家制定總量不少于6000臺(tái)的生產(chǎn)計(jì)劃,那么在改進(jìn)技術(shù)后,至少還要多少天完成生產(chǎn)計(jì)劃?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某社區(qū)調(diào)查社區(qū)居民雙休日的學(xué)習(xí)狀況,采取下列調(diào)查方式:①從一幢高層住宅樓中選取200名居民;②從不同住層樓中隨機(jī)選取200名居民;③選取社區(qū)內(nèi)的200名在校學(xué)生.
(1)上述調(diào)查方式最合理的是 (填序號(hào));
(2)將最合理的調(diào)查方式得到的數(shù)據(jù)制成扇形統(tǒng)計(jì)圖(如圖①)和頻數(shù)分布直方圖(如圖②).
①請(qǐng)補(bǔ)全直方圖(直接畫在圖②中);
②在這次調(diào)查中,200名居民中,在家學(xué)習(xí)的有 人;
(3)請(qǐng)估計(jì)該社區(qū)2000名居民中雙休日學(xué)習(xí)時(shí)間不少于4h的人數(shù);
(4)小明的叔叔住在該社區(qū),那么雙休日他去叔叔家時(shí),正好叔叔沒有學(xué)習(xí)的概率是 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:如圖,拋物線y=ax2+bx+3與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)A,B(﹣3,0),C(1,0),點(diǎn)P是線段AB上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).
(1)求拋物線解析式;
(2)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí),△PAB的面積最大?
(3)過點(diǎn)P作x軸的垂線,交線段AB于點(diǎn)D,再過點(diǎn)P作PE∥x軸交拋物線于點(diǎn)E,連接DE,請(qǐng)問是否存在點(diǎn)P使△PDE為等腰直角三角形?若存在,求點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù)y=x2-2mx+m2+m-1(m為常數(shù)).
(1)求證:不論m為何值,該二次函數(shù)的圖像與x軸總有兩個(gè)公共點(diǎn);
(2)將該二次函數(shù)的圖像向下平移k(k>0)個(gè)單位長度,使得平移后的圖像經(jīng)過點(diǎn)(0,-2),則k的取值范圍是 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】要求在下列問題中僅用無刻度的直尺作圖.如圖,在下列10×12的網(wǎng)格中, 橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)叫做格點(diǎn).例如正方形ABCD的頂點(diǎn)A(0,7),C(5,2)都是格點(diǎn).
(1)找一個(gè)格點(diǎn)M, 連接AM交邊CD于F,使DF=FC,畫出圖形寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)為 ;
(2)找一個(gè)格點(diǎn)N, 連接ON交邊BC于E,使BE=BC,畫出圖形寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)為 ;
(3)連接AE、EF得△AEF.請(qǐng)按步驟完成作圖,并寫出△AEF的面積為 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,在矩形紙片中,,,折疊紙片使點(diǎn)落在邊上的處,拆痕為.過點(diǎn)作交于,連接.
(1)求證:四邊形為菱形;
(2)當(dāng)點(diǎn)在邊上移動(dòng)時(shí),折痕的端點(diǎn)、也隨之移動(dòng);
①當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)(如圖2),求菱形的邊長;
②若限定、分別在邊、上移動(dòng),求的內(nèi)切圓半徑的取值范圍.
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