Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線C1：y=的頂點為M，與y軸相交于點N，先將拋物線C1沿x軸翻折，再向右平移p個單位長度后得到拋物線C2：直線l：y=kx+b經(jīng)過M，N兩點．

（1）結合圖象，直接寫出不等式x2+6x+2＜kx+b的解集；

（2）若拋物線C2的頂點與點M關于原點對稱，求p的值及拋物線C2的解析式；

（3）若直線l沿y軸向下平移q個單位長度后，與（2）中的拋物線C2存在公共點，

求3﹣4q的最大值．

Answer 1

【答案】（1）﹣2＜x＜0（2）y=﹣x2+6x﹣2（3）當q=時，3﹣4q取最大值，最大值為﹣7

【解析】試題分析：(1)、首先根據(jù)二次函數(shù)的解析式分別求出點M和點N的坐標，然后根據(jù)圖像得出不等式的取值范圍；(2)、根據(jù)翻折得出拋物線的頂點坐標和開口方向以及大小，從而得出拋物線的函數(shù)解析式；(3)、首先將點M和點N的坐標代入一次函數(shù)解析式得出一次函數(shù)的解析式，然后設平移后的解析式為y=3x+2-q，然后根據(jù)與拋物線有交點得出方程有實數(shù)根，從而得出最大值.

試題解析：（1）令y=中x=0，則y=2，

∴N（0，2）； ∵y==（x+2）2﹣4， ∴M（﹣2，﹣4）．

觀察函數(shù)圖象，發(fā)現(xiàn)：當﹣2＜x＜0時，拋物線C1在直線l的下方，

∴不等式x2+6x+2＜kx+b的解集為﹣2＜x＜0．

（2）∵拋物線C1：y=的頂點為M（﹣2，﹣4），

沿x軸翻折后的對稱點坐標為（﹣2，4）． ∵拋物線C2的頂點與點M關于原點對稱，

∴拋物線C2的頂點坐標為（2，4）， ∴p=2﹣（﹣2）=4．

∵拋物線C2與C1開口大小相同，開口方向相反，

∴拋物線C2的解析式為y=﹣（x﹣2）2+4=﹣x2+6x﹣2．

（3）將M（﹣2，﹣4）、N（0，2）代入y=kx+b中，得： ，解得： ，

∴直線l的解析式為y=3x+2．

∵若直線l沿y軸向下平移q個單位長度后與拋物線C2存在公共點，

∴方程﹣x2+6x﹣2=3x+2﹣q有實數(shù)根，即3x2﹣6x+8﹣2q有實數(shù)根，

∴△=（﹣6）2﹣4×3×（8﹣2q）≥0，解得：q≥． ∵﹣4＜0，

∴當q=時，3﹣4q取最大值，最大值為﹣7．