Question

如圖，已知⊙O的半徑為4，點(diǎn)D是直徑AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，DC切⊙O于點(diǎn)C，連接AC，若∠CAB=30°，則BD的長(zhǎng)為（ ）

A．4
B．8
C．4
D．2

Answer 1

【答案】分析：連接OC，由切線的性質(zhì)可知∠OCD為直角，然后利用等邊對(duì)等角，由OA=OC得到∠BAC=∠OCA，再由∠CAB=30°，得到∠OCA=30°，又∠DOC為三角形AOC的外角，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得∠DOC為60°，從而得到∠D為30°，在直角三角形OCD中，根據(jù)30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，由OC的長(zhǎng)求出OD的長(zhǎng)，再由OD-OB即可求出BD的長(zhǎng)．
解答：解：連接OC，如圖所示：
由CD為圓O的切線，得到OC⊥CD，
∴∠OCD=90°，
∵OA=OC，且∠CAB=30°
∴∠CAB=∠OCA=30°，
∴∠DOC=60°，
∴∠ODC=30°，
在Rt△OCD中，OC=4，則OD=8，
則BD=OD-OB=8-4=4．
故選C．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線的性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)以及含30°角的直角三角形的性質(zhì)，遇到直線與圓相切時(shí)，常常連接圓心與切點(diǎn)，構(gòu)造直角三角形，利用直角三角形的性質(zhì)來(lái)解決問(wèn)題．