【題目】如圖,直線y=﹣x+4與拋物線y=﹣x2+bx+c交于A,B兩點,點Ay軸上,點Bx軸上.

1)求拋物線的解析式;

2)在x軸下方的拋物線上存在一點P,使得∠ABP90°,求出點P坐標;

3)點E是拋物線對稱軸上一點,點F是拋物線上一點,是否存在點E和點F使得以點EF,B,O為頂點的四邊形是平行四邊形?若存在,求出點F的坐標;若不存在,請說明理由.

【答案】1y=﹣x2+x+4;(2P(4,-8);(3)存在,點F的坐標為(5,),(﹣3,),(3,).

【解析】

1)由直線表達式求出點A、B的坐標,把A、B點坐標代入二次函數(shù)表達式,即可求解;
2OA=OB=4,則OBAC的垂直平分線,則點C坐標為(0,-4),求出直線BC的表達式,即可求解;
3)存在;分OB是平行四邊形的一條邊或一條對角線兩種情況,分別求解即可.

解:(1)在y=﹣x+4中,

x0時, y4,當y0時,x4,

即點A、B的坐標分別為(0,4)、(4,0),

將(0,4)、(4,0),代入二次函數(shù)表達式,并解得:

b=1,c=4,

拋物線的解析式為:y=﹣x2+x+4;

2)∵OAOB4,

∴∠ABO45°,

∵∠ABP90°,

則∠PBO=45°,

若直線PBy軸于點M,

OM=OB=4,

可得直線BP的解析式為:y=x4,

聯(lián)立:y=x4,y=﹣x2+x+4,得:

x=4y=0(B);x=4,y=8,

P(4,-8);

3)存在;

y=﹣x2+x+4知拋物線的對稱軸為:x=1,

E(1,m),F(n,﹣n2+n+4),O(0,0),B(40),

①當四邊形OBEF是平行四邊形時,

有:EF=4,

n-1=-4,即n=-3,

F點坐標為(-3,);

②當四邊形OBFE是平行四邊形時,

有:EF=4,

n-1=4,即n=5,

F點坐標為(5,);

③當四邊形OFBE是平行四邊形時,

有:,

n=3,

F點坐標為(3,);

綜上所述:點F的坐標為(5,),(﹣3),(3,).

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