Question

【題目】如圖1，將紙片折疊，折疊后的三個(gè)三角形可拼合形成一個(gè)矩形，類似地，對(duì)多邊形進(jìn)行折疊，若翻折后的圖形恰能拼合成一個(gè)無縫隙、無重疊的矩形，這樣的矩形稱為疊合矩形．

（1）將紙片按圖2的方式折疊成一個(gè)疊合矩形，則操作形成的折痕分別是線段_______，__________；___________．

（2）將紙片按圖3的方式折疊成一個(gè)疊合矩形，若，，求的長(zhǎng)；

（3）如圖4，四邊形紙片滿足，，，，，小明把該紙片折疊，得到疊合正方形，請(qǐng)你幫助畫出一種疊合正方形的示意圖，并求出、的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）AE，GF，1：2；（2）13；（3）AD =1，BC =7；

【解析】

（1）根據(jù)題意得出操作形成的折痕分別是線段AE、GF；由折疊的性質(zhì)得出△ABE的面積=△AHE的面積，四邊形AHFG的面積=四邊形DCFG的面積，得出S矩形AEFG=SABCD，即可得出答案；
（2）由矩形的性質(zhì)和勾股定理求出FH，即可得出答案；
（3）由折疊的性質(zhì)得：AD=BG，AE=BE=AB=4，CF=DF=CD=5，GM=CM，∠FMC=90°，由疊合正方形的性質(zhì)得出BM=FM=4，由勾股定理得出GM=CM==3，得出AD=BG=BM-GM=1，BC=BM+CM=7；

解：（1）根據(jù)題意得：操作形成的折痕分別是線段AE、GF；
由折疊的性質(zhì)得：△ABE≌△AHE，四邊形AHFG≌四邊形DCFG，
∴△ABE的面積=△AHE的面積，四邊形AHFG的面積=四邊形DCFG的面積，

∴S矩形AEFG=SABCD，
∴S矩形AEFG：SABCD=1：2；
故答案為：AE，GF，1：2；
（2）∵四邊形EFGH是矩形，
∴∠HEF=90°，
∴FH==13，
由折疊的性質(zhì)得：AD=FH=13；
（3）圖5所示：

如圖4所示：由折疊的性質(zhì)得：AD=BG，AE=BE=AB=4，CF=DF=CD=5，GM=CM，∠FMC=90°，
∵四邊形EFMB是疊合正方形，

∴BM=FM=4，
∴GM=CM==3，
∴AD=BG=BM-GM=1，BC=BM+CM=7；