Question

【題目】以△ABC的邊AC為直徑的半圓交AB邊于D點，∠A、∠B、∠C所對邊長為a、b、c，且二次函數(shù)y＝(a＋c)x2-bx＋(c-a)頂點在x軸上，a是方程z2＋z-20＝0的根．

(1)證明：∠ACB＝90°；

(2)若設b＝2x，弓形面積S弓形AED＝S1，陰影面積為S2，求(S2-S1)與x的函數(shù)關系式；

(3)在(2)的條件下，當BD為何值時，(S2-S1)最大？

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）S2-S1＝-x2＋4x；（3）BD＝．

【解析】

(1)由拋物線的頂點在軸上，得到 從而可得結(jié)論．

(2)利用a是z2＋z-20＝0的根，求解的值，再利用S2-S1＝S△ABC-(S半圓-S1)-S1＝S△ABC-S半圓，從而可得答案，

(3)由（2）的函數(shù)關系式求解（）最大時，利用直徑所對的圓周角是直角，得到利用相似三角形的性質(zhì)可得答案．

(1)因為二次函數(shù)y＝(a＋c)x2-bx＋(c-a)的頂點在x軸上，

∴　Δ＝0，即：b2-4×(a＋c)×(c-a)＝0，

∴　c2＝a2＋b2，

得∠ACB＝90°．

(2)∵　z2＋z-20＝0．

∴　z1＝-5，z2＝4，

∵　a＞0，得a＝4．

設b＝AC＝2x，有S△ABC＝AC·BC＝4x，S半圓＝x2

∴　S2-S1＝S△ABC-(S半圓-S1)-S1＝S△ABC-S半圓＝-x2＋4x

(3) S2-S1＝-(x-)2＋，

∴　當x＝時，(S2-S1)有最大值．

這時，b＝，a＝4，c＝,

如圖，連接

為圓的直徑，

BD＝．

當BD為時，(S2-S1)最大．