【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC=10cm,BD⊥AC于點D,BD=8cm.點M從點A出發(fā),沿AC的方向勻速運動,同時直線PQ由點B出發(fā),沿BA的方向勻速運動,運動過程中始終保持PQ∥AC,直線PQ交AB于點P、交BC于點Q、交BD于點F.連接PM,設(shè)運動時間為t秒(0<t≤5).線段CM的長度記作y甲 , 線段BP的長度記作y乙 , y甲和y乙關(guān)于時間t的函數(shù)變化情況如圖所示.
(1)由圖2可知,點M的運動速度是每秒cm,當t為何值時,四邊形PQCM是平行四邊形?在圖2中反映這一情況的點是;
(2)設(shè)四邊形PQCM的面積為ycm2 , 求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式;
(3)是否存在某一時刻t,使S四邊形PQCM= S△ABC?若存在,求出t的值;若不存在,說明理由;
(4)連接PC,是否存在某一時刻t,使點M在線段PC的垂直平分線上?若存在,求出此時t的值;若不存在,說明理由.
【答案】
(1)2,E( , )
(2)解:∵PQ∥AC,
∴△PBQ∽△ABC,
∴△PBQ為等腰三角形,PQ=PB=t,
∴ ,即 ,
解得:BF= t,
∴FD=BD﹣BF=8﹣ t,
又∵MC=AC﹣AM=10﹣2t,
∴y= (PQ+MC)FD= (t+10﹣2t)(8﹣ t)= t2﹣8t+40;
(3)解:存在;
∵S△ABC= ACBD= ×10×8=40,
當S四邊形PQCM= S△ABC時,y= t2﹣8t+40=20,
解得:t=10﹣5 ,或t=10+5 (不合題意,舍);
即:t=10﹣5 時,S四邊形PQCM= S△ABC.
(4)解:假設(shè)存在某一時刻t,使得M在線段PC的垂直平分線上,則MP=MC,
過M作MH⊥AB,交AB與H,如圖所示:
∵∠A=∠A,∠AHM=∠ADB=90°,
∴△AHM∽△ADB,
∴ ,
又∵AD=6,
∴ ,
∴HM= t,AH= t,
∴HP=10﹣t﹣ t=10﹣ t,
在Rt△HMP中,MP2=( t)2+(10﹣ t)2= t2﹣44t+100,
又∵MC2=(10﹣2t)2=100﹣40t+4t2,
∵MP2=MC2,
∴ t2﹣44t+100=100﹣40t+4t2,
解得 t1= ,t2=0(舍去),
∴t= s時,點M在線段PC的垂直平分線上.
【解析】解:(1)由圖2得,點M的運動速度為2cm/s,PQ的運動速度為1cm/s,
∵四邊形PQCM是平行四邊形,則PM∥QC,
∴AP:AB=AM:AC,
∵AB=AC,
∴AP=AM,即10﹣t=2t,
解得:t= ,
∴當t= 時,四邊形PQCM是平行四邊形,此時,圖2中反映這一情況的點是E( , )
所以答案是:2,E( , ).
【考點精析】通過靈活運用相似三角形的性質(zhì),掌握對應(yīng)角相等,對應(yīng)邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形即可以解答此題.
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【題目】(1)當a≠0時,求的值.(寫出解答過程)
(2)若a≠0,b≠0,且+ =0,則的值為 .
(3)若ab>0,則++的值為 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC中,AB=AC,D是BC的中點,AC的垂直平分線分別交AC、AD、AB于點E、O、F,則圖中全等的三角形的對數(shù)是______ .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】吉林省廣播電視塔(簡稱“吉塔”)是我省目前最高的人工建筑,也是俯瞰長春市美景的最佳去處.某科技興趣小組利用無人機搭載測量儀器測量“吉塔”的高度.已知如圖將無人機置于距離“吉塔”水平距離138米的點C處,則從無人機上觀測塔尖的仰角恰為30°,觀測塔基座中心點的俯角恰為45°.求“吉塔”的高度.(注: ≈1.73,結(jié)果保留整數(shù))
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC和△ADE中,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,且點B,A,D在同一條直線上,M,N分別為BE,CD的中點.
(1)求證:△ABE≌ACD;
(2)判斷△AMN的形狀,并說明理由.
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【題目】計算題:
(1)﹣20﹣(﹣18)+(+5)+(﹣9);
(2)(﹣5)×6+(﹣125)÷(﹣5);
(3)(1)÷(﹣);
(4)﹣14﹣(1﹣0.5)××[2﹣(﹣3)2].
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【題目】如圖,已知四邊形ABCD是平行四邊形,下列結(jié)論中不正確的是( )
A. 當AB=BC時,它是菱形 B. 當AC⊥BD時,它是菱形
C. 當∠ABC=90°時,它是矩形 D. 當AC=BD時,它是正方形
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【題目】為了更好地治理水質(zhì),保護環(huán)境,某污水處理公司決定購買10臺污水處理設(shè)備,現(xiàn)有A、B兩種設(shè)備可供選擇,月處理污水分別為240m3/月、200m3/月.經(jīng)調(diào)查:購買一臺A型設(shè)備比購買一臺B型設(shè)備多2萬元,購買2臺A型設(shè)備比購買3臺B型設(shè)備少8萬元.
(1)A、B兩種型號的設(shè)備每臺的價格是多少?
(2)若污水處理公司購買設(shè)備的預(yù)算資金不超過125萬元,你認為該公司有哪幾種購買方案?
(3)若每月需處理的污水約2040m3,在不突破(2)中資金預(yù)算的前提下,為了節(jié)約資金,又要保證治污效果,請你為污水處理公司設(shè)計一種最省錢的方案.
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