Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，二次函數y＝ax2﹣4ax+3的圖象與x軸正半軸交于點A、B，與y軸相交于點C，頂點為D，且tan∠CAO＝3．

（1）求這個二次函數的解析式；

（2）點P是對稱軸右側拋物線上的點，聯結CP，交對稱軸于點F，當S△CDF：S△FDP＝2：3時，求點P的坐標；

（3）在（2）的條件下，將△PCD沿直線MN翻折，當點P恰好與點O重合時，折痕MN交x軸于點M，交y軸于點N，求的值．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣4x+3；（2）(5，8)；（3）

【解析】

（1）在Rt△AOC中，tan∠CAO＝＝3，求出點A的坐標，即可求解；

（2）利用，即可求解；

（3）證明∠ONM＝∠POH，則．

解：（1）∵二次函數y＝ax2﹣4ax+3的圖象與y軸交于點C，

∴點C的坐標為（0，3），

∴OC＝3，

連接AC，在Rt△AOC中，tan∠CAO＝＝3，

∴OA＝1，

將點A（1，0）代入y＝ax2﹣4ax+3，得a﹣4a+3＝0，

解得：a＝1．

所以，這個二次函數的解析式為 y＝x2﹣4x+3；

（2）過點C作CG⊥DF，過點P作PQ⊥DF，垂足分別為點G、Q．

∵拋物線y＝x2﹣4x+3的對稱軸為直線x＝2，

∴CG＝2，

∵，

∴PQ＝3，

∴點P的橫坐標為5，

∴把x＝5代入y＝x2﹣4x+3，得 y＝8，

∴點P的坐標為（5，8）；

（3）過點P作PH⊥OM，垂足分別為點H，

∵點P的坐標為（5，8），

∴OH＝5，PH＝8，

∵將△PCD沿直線MN翻折，點P恰好與點O重合，

∴MN⊥OP，

∴∠ONM+∠NOP＝90°，

又∵∠POH+∠NOP＝90°，

∴∠ONM＝∠POH，

∴．