Question

如圖，⊙O的半徑為1，點(diǎn)P是⊙O上一點(diǎn)，弦AB垂直平分線段OP，點(diǎn)D是劣弧AB上任一點(diǎn)（與端點(diǎn)A、B不重合），DE⊥AB于點(diǎn)E，以點(diǎn)D為圓心、DE長為半徑作⊙D，分別過點(diǎn)A、B作⊙D的切線，兩條切線相交于點(diǎn)C．

（1）求弦AB的長；

（2）判斷∠ACB是否為定值，若是，求出∠ACB的大小；否則，請說明理由；

（3）記△ABC的面積為S，若＝ 4 ，求△ABC的周長.

                                                          

Answer 1

解：（1）連接OA，取OP與AB的交點(diǎn)為F，則有OA＝1．

∵弦AB垂直平分線段OP，∴OF＝OP＝，AF＝BF．

在Rt△OAF中，∵AF＝＝＝，

∴AB＝2AF＝．

（2）∠ACB是定值.理由如下：

由（1）易知，∠AOB＝120°，

因?yàn)辄c(diǎn)D為△ABC的內(nèi)心，所以，連結(jié)AD、BD，

則∠CAB＝2∠DAB，∠CBA＝2∠DBA，

 ∴∠DAB ﹢ ∠DBA＝﹙∠CAB + ∠CBA﹚。

又因?yàn)椤?i>DAB＋∠DBA＝∠AOB＝60°，

所以∠CAB＋∠CBA＝120°，

所以∠ACB＝180°- ﹙CAB＋∠CBA﹚ = 60°；

（3）記△ABC的周長為l，取AC，BC與⊙D的切點(diǎn)分別為G，H，連接DG，DC，DH，則有DG＝DH＝DE，DG⊥AC，DH⊥BC.

∴＝AB•DE＋BC•DH＋AC•DG＝(AB＋BC＋AC) •DE＝l•DE．

∵＝4，   ∴＝4，    ∴l＝8DE.

∵CG，CH是⊙D的切線，    ∴∠GCD＝∠ACB＝30°，

∴在Rt△CGD中，CD ＝ 2 GD  

∴ CG＝DG＝DE，   ∴CH＝CG＝DE．

又由切線長定理可知AG＝AE，BH＝BE，

∴l＝AB＋BC＋AC＝2＋2DE＝8DE，

解得DE＝，

∴△ABC的周長為．