Question

【題目】已知AB是⊙O的直徑，C是圓周上的動(dòng)點(diǎn)，P是優(yōu)弧中點(diǎn).
（1）求證：OP∥BC.
（2）連接PC交直徑AB于點(diǎn)D，當(dāng)OC=DC時(shí)，求∠A的度數(shù).

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接AC，延長(zhǎng)PO交AC于H，如圖1，

∵P是優(yōu)弧的中點(diǎn)，
∴PH⊥AC，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∴BC⊥AC，
∴OP∥BC.
（2）解：連接AC，延長(zhǎng)PO交AC于H，如圖2，

∵P是優(yōu)弧的中點(diǎn)，
∴PA=PC，
∴∠PAC=∠PCA，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠PAO=PCO，
當(dāng)CO=CD時(shí)，設(shè)∠DCO=x，
則∠OPC=x，∠PAO=x，
∴∠PDO=2x，
∴∠ODC=∠POD+∠OPC=3x，
∵CD=CO，
∴∠DOC=∠ODC=3x.
在△POC中，x+x+5x=180°，
∴x=，
即∠PAO=，
∴∠A的度數(shù)為
【解析】（1）連接AC，延長(zhǎng)PO交AC于H，由垂徑定理推論得PH⊥AC，再由圓周角定理得BC⊥AC，根據(jù)垂直于同一條直線的兩條直線平行即可得證.
（2）連接AC，延長(zhǎng)PO交AC于H，如圖2，由垂徑定理推論得PA=PC， 根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得∠PAC=∠PCA，∠OAC=∠OCA，等量代換得
∠PAO=PCO；當(dāng)CO=CD時(shí)，設(shè)∠DCO=x，則∠OPC=x，∠PAO=x，由三角形的外角和性質(zhì)得 ∠ODC=3x，在△POC中，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得出
x+x+5x=180°，從而求出∠A的度數(shù) .
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了三角形的內(nèi)角和外角和三角形的外角的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握三角形的三個(gè)內(nèi)角中，只可能有一個(gè)內(nèi)角是直角或鈍角；直角三角形的兩個(gè)銳角互余；三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和；三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角；三角形一邊與另一邊的延長(zhǎng)線組成的角，叫三角形的外角；三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和；三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角才能正確解答此題．