Question

【題目】如圖，在菱形ABCD中，點 E、F分別為邊 AD、CD上的動點(都與菱形的頂點不重合)，聯結 EF、BE、BF ．

（1）若∠A＝60°，且 AE+CF＝AB，判斷△BEF 的形狀，并說明理由；

（2）在（1）的條件下，設菱形的邊長為a，求△BEF面積的最小值．

Answer 1

【答案】（1）△BEF的形狀為等邊三角形（2）

【解析】試題分析：（1）通過證明BE=BF，求出∠EBF的度數，可判斷△BEF是等邊三角形．

（2）當BE⊥AD時，BE最小，此時，S△BEF最�。�求出此時的邊EF長，及其對應高BM的長，按照三角形的面積公式即可求出．

試題解析：解：（1）△BEF的形狀為等邊三角形．證明如下：

如圖，在菱形ABCD中，∠A=60°，∴AB∥DC，AB=BC=CD=DA，∴∠ADC=120°，∴∠1=∠2=60°，∴∠ABD=∠1=∠A=60°，∴AB=BD，∠A=∠2．

∵AE+CF=AB，DF+CF=CD，∴AE=DF，∴△ABE≌△DBF，∴BE=BF，∠3=∠4．

又∵∠3+∠5=60°，∴∠4+∠5=60°，∴△BEF為等邊三角形．

（2）如圖，當BE⊥AD時，BE最小，此時，S△BEF最�。�

設此時EF與BD交于點M，∴∠ABE=∠DBE=30°．

∵∠BEM=60°，∴∠BME=90°．

在Rt△ABE中，AB=a，∴．

在Rt△BEM中，∠BEM=60°，∴．

∴．