Question

【題目】（10分）將一副三角尺如圖拼接：含30°角的三角尺（△ABC）的長直角邊與含45°角的三角尺（△ACD）的斜邊恰好重合．已知AB＝2，P是AC上的一個動點(diǎn)．

（1）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到∠ABC的平分線上時，連接DP，求DP的長；

（2）當(dāng)點(diǎn)P在運(yùn)動過程中出現(xiàn)PD＝BC時，求此時∠PDA的度數(shù)；

（3）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到什么位置時，以D，P，B，Q為頂點(diǎn)的平行四邊形的頂點(diǎn)Q恰好在邊BC上？求出此時□DPBQ的面積．

Answer 1

【答案】（1）DP的長為

（2）∠PDA的度數(shù)為75°；

（3）點(diǎn)CP長為時，此時□DPBQ的面積為

【解析】解：在Rt△ABC中，AB＝2，∠BAC＝30°，∴BC＝，AC＝3．

（1）如圖（1），作DF⊥AC，∵Rt△ACD中，AD＝CD，∴DF＝AF＝CF＝．

∵BP平分∠ABC，∴∠PBC＝30°，∴CP＝BC·tan30°＝1，∴PF＝，∴DP＝＝．

（2）當(dāng)P點(diǎn)位置如圖（2）所示時，根據(jù)（1）中結(jié)論，DF＝，∠ADF＝45°，又PD＝BC＝，∴cos∠PDF＝＝，∴∠PDF＝30°．

∴∠PDA＝∠ADF－∠PDF＝15°．

當(dāng)P點(diǎn)位置如圖（3）所示時，同（2）可得∠PDF＝30°．

∴∠PDA＝∠ADF＋∠PDF＝75°．

（3）CP＝．

在□DPBQ中，BC∥DP，∵∠ACB＝90°，∴DP⊥AC．根據(jù)（1）中結(jié)論可知，DP＝CP＝，∴S□DPBQ＝＝．