Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝，BC＞AC，以斜邊AB所在直線為x軸，以斜邊AB上的高所在直線為y軸，建立直角坐標(biāo)系，若OA²＋OB²＝17，且線段OA、OB的長度是關(guān)于x的一元二次方程x²－mx＋2(m－3)＝0的兩個根．

(1)求C點的坐標(biāo)；

(2)以斜邊AB為直徑作圓與y軸交于另一點E，求過A、B、E三點的拋物線的解析式，并畫出此拋物線的草圖；

(3)在拋物線上是否存在點P，使△ABP與△ABC全等？若存在，求出符合條件的P點的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(1)∵線段OA、OB的長度是關(guān)于x的一元二次方程x2－mx＋2(m－3)＝0的兩個根，∴又∵OA2＋OB2＝17．③把①、②代人③，得m2－4(m－3)＝17．∴m2－4m－5＝0．解之，得m－1或m＝5．又知OA＋OB＝m＞0，∴m＝－1應(yīng)舍去．∴當(dāng)m＝5時，得方程：x2－5x＋4＝0．解之，得x＝1或x＝4．∵BC＞AC，∴OB＞OA．∴OA＝1，OB＝4．在Rt△ABC中，∠ACB＝，CO⊥AB，∴OC2＝OA·OB＝1×4＝4．∴OC＝2．∴(0，2); 　　(2)∵OA＝1，OB＝4，C、E兩點關(guān)于x軸對稱，∴A(－1，0)，B(4，0)，E(0，－2)．設(shè)經(jīng)過A、B、E三點的拋物線的解式為y＝ax2＋bx＋c，則，解之，得，所求拋物線的解析式為y＝x2－x－2; 　　(3)存在．∵點E是拋物線與圓的交點，∴Rt△ACB≌Rt△AEB．∴E(0，－2)符合條件．∵圓心的坐標(biāo)(，0)在拋物線的對稱軸上，∴這個圓和這條拋物線均關(guān)于拋物線的對稱軸對稱．∴點E關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點也符合題意．可求得(3，－2)∴拋物線上存在點P符合題意，它們的坐標(biāo)是(0，－2)和(3，－2)