【題目】如圖,為的直徑,直線于點.點在上,分別連接,,且的延長線交于點,為的切線交于點.
(1)求證:;
(2)連接,若,,求線段的長.
【答案】(1)詳見解析;(2)
【解析】
(1)根據(jù)切線的性質(zhì)得,由切線長定理可證,從而,然后根據(jù)等角的余角相等得到,從而根據(jù)等腰三角形的判定定理得到結(jié)論;
(2)根據(jù)勾股定理計算出AC=8,再證明△ABC∽△ABD,利用相似比得到AD=,然后證明OF為△ABD的中位線,從而根據(jù)三角形中位線性質(zhì)求出OF的長.
(1)證明:∵是的直徑,
∴(直徑所對的圓周角是),
∴,
∴,
∵是的直徑,于點,
∴是的切線(經(jīng)過半徑外端且與半徑垂直的直線是圓的切線),
∵是的切線,
∴(切線長定理),
∴,
∵,,
∴,∴,
∵.
(2)由(1)可知,是直角三角形,在中,,,
根據(jù)勾股定理求得,
在和中
,
∴(兩個角對應(yīng)相等的兩個三角形相似),
∴,
∴,
∴,
∵,,
∴是的中位線,
∴(三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半).
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【題目】如圖,拋物線與y軸的交點為A,拋物線的頂點為.
(1)求出拋物線的解析式;
(2)點P為x軸上一點,當△PAB的周長最小時,求出點P的坐標.
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【題目】已知平行四邊形ABCD.
(1)如圖1,將ABCD繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)一定角度得到A1B1C1D,延長B1C1,分別與BC、AD的延長線交于點M、N.
①求證:∠BMB1=∠ADA1;
②求證:B1N=AN+C1M;
(2)如圖2,將線段AD繞點D逆時針旋轉(zhuǎn),使點A的對應(yīng)點A1落在BC上,將線段CD繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)到C1D的位置,AC1與A1D交于點H.若H為AC1的中點,∠ADC1+∠A1DC=180°,A1B=nA1C,試用含n的式子表示的值.
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【題目】如圖,矩形紙片中,,,將紙片沿折疊,使點落在邊上的處,折痕分別交邊、于點、,且.再將紙片沿折疊,使點落在線段上的處,折痕交邊于點.連接,則的長是______.
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【題目】某校有一露天舞臺,縱斷面如圖所示,AC垂直于地面,AB表示樓梯,AE為舞臺面,樓梯的坡角∠ABC=45°,坡長AB=2m,為保障安全,學(xué)校決定對該樓梯進行改造,降低坡度,擬修新樓梯AD,使∠ADC=30°
(1)求舞臺的高AC(結(jié)果保留根號)
(2)樓梯口B左側(cè)正前方距離舞臺底部C點3m處的文化墻PM是否要拆除?請說明理由.
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【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=AC,BC=20,DE是△ABC的中位線,點M是邊BC上一點,BM=3,點N是線段MC上的一個動點,連接DN,ME,DN與ME相交于點O.若△OMN是直角三角形,則DO的長是______.
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【題目】某學(xué)校自主開發(fā)了A書法、B閱讀,C繪畫,D器樂四門選修課程供學(xué)生選擇,每門課程被選到的機會均等.
(1)若學(xué)生小玲計劃選修兩門課程,請寫出她所有可能的選法;
(2)若學(xué)生小強和小明各計劃選修一門課程,則他們兩人恰好選修同一門課程的概率為多少?
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【題目】如圖,在邊長為1個單位長度的小正方形組成的8×10網(wǎng)格中,點A,B,C均為網(wǎng)格線的交點.
(1)用無刻度的直尺作BC邊上的中線AD(不寫作法,保留作圖痕跡);
(2)①在給定的網(wǎng)格中,以A為位似中心將△ABC縮小為原來的,得到△AB′C′,請畫出△AB′C′.
②填空:tan∠AD′C'= .
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【題目】某水果批發(fā)商銷售每箱進價為40元的蘋果,物價部門規(guī)定每箱售價不得高于55元.市場調(diào)査發(fā)現(xiàn),若每箱以50元的價格銷售,平均每天銷售90箱,價格每提高1元,平均每天少銷售3箱.
(1)求平均每天銷售量(箱)與銷售價(元/箱)之間的函數(shù)關(guān)系式.
(2)求該批發(fā)商平均每天的銷售利潤(元)與銷售價(元/箱)之間的函數(shù)關(guān)系式.
(3)當每箱蘋果的銷售價為多少元時,可以獲得最大利潤?最大利潤是多少?
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