Question

如圖，已知A（-1，n），B（

1

2

，-2）是一次函數(shù)y=kx+b的圖象和反比例函數(shù)y=

m

x

的圖象的兩個(gè)交點(diǎn)．
（1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；
（2）求直線AB與x軸交點(diǎn)C的坐標(biāo)及△AOB的面積；
（3）求方程kx+b-

m

x

=0的解（請(qǐng)直接寫出答案）；
（4）在y軸上是否存在一點(diǎn)P，使三角形PAO為等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）因?yàn)锳（-1，n），B（

1

2

，-2）是一次函數(shù)y=kx+b的圖象與反比例函數(shù) y=

m

x

的圖象的兩個(gè)交點(diǎn)，由m=（-2）×

1

2

即可求出m的值，確定出反比例解析式，然后把A點(diǎn)坐標(biāo)代入即可求出n的值，從而求出B點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而把求出的A、B點(diǎn)的坐標(biāo)代入一次函數(shù)y=kx+b的解析式，得到關(guān)于k和b的二元一次方程組，求出方程組的解就可求出k、b的值；
（2）利用一次函數(shù)與x軸交于點(diǎn)C，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，所以x軸把△AOB的面積分為△AOC和△BOC的面積之和，利用點(diǎn)C橫坐標(biāo)的絕對(duì)值，分別乘以點(diǎn)A和點(diǎn)B縱坐標(biāo)的絕對(duì)值，由三角形的面積公式即可求出△AOC和△BOC的面積之和，進(jìn)而得到△AOB的面積；
（3）根據(jù)兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)即可求出方程kx+b-

m

x

=0的解；
（4）分別利用AO為腰或底邊結(jié)合圖形得出P點(diǎn)坐標(biāo)即可．

解答：解：（1）∵B（

1

2

，-2）是反比例函數(shù) y=

m

x

的圖象的點(diǎn)，
∴m=（-2）×

1

2

，
∴y=-

1

x

，
∵A（-1，n）點(diǎn)也在反比例函數(shù) y=

m

x

的圖象上，
∴-n=m=-1，
∴n=1，
∴將A（-1，1），B（

1

2

，-2）代入y=kx+b得：

-k+b=1 1 2 k+b=-2

，
解得：

k=-2 b=-1

，
則一次函數(shù)解析式為：y=-2x-1；

（2）直線AB與x軸交點(diǎn)C的坐標(biāo)為：當(dāng)y=0時(shí)，x=-

1

2

，
則C點(diǎn)坐標(biāo)為：(-

1

2

，0)；
△AOB的面積為：S_△AOC+S_△BOC=

1

2

×

1

2

×1+

1

2

×

1

2

×2=

3

4

；

（3）方程kx+b-

m

x

=0的解即為兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，
故方程kx+b-

m

x

=0的解為：-1或

1

2

；

（4）如圖所示：∵A（-1，1），
∴AO=

2

，當(dāng)AO=AP₁=

2

時(shí)，P₁坐標(biāo)為：（0，2），
當(dāng)AO=OP₂=

2

時(shí)，P₂坐標(biāo)為：（0，

2

），
當(dāng)AP₃=OP₃=1時(shí)，P₃坐標(biāo)為：（0，1），
當(dāng)AO=OP₄=

2

時(shí)，P₄坐標(biāo)為：（0，-

2

），
綜上所述：在y軸上存在4個(gè)點(diǎn)P，使三角形PAO為等腰三角形
分別為：（0，2）（0，1）（0，

2

）（0，一

2

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題以及等腰三角形的性質(zhì)，要求學(xué)生能夠熟練運(yùn)用待定系數(shù)法求得函數(shù)的解析式；能夠運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想觀察方程的解．