【題目】如圖,拋物線(xiàn)y=ax2+bx+2與x軸交于點(diǎn)A(1,0)和B(4,0).

(1)求拋物線(xiàn)的解析式;
(2)若拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸交x軸于點(diǎn)E,點(diǎn)F是位于x軸上方對(duì)稱(chēng)軸上一點(diǎn),F(xiàn)C∥x軸,與對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)的拋物線(xiàn)交于點(diǎn)C,且四邊形OECF是平行四邊形,求點(diǎn)C的坐標(biāo);
(3)在(2)的條件下,拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在點(diǎn)P,使△OCP是直角三角形?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】
(1)

解:把點(diǎn)A(1,0)和B(4,0)代入y=ax2+bx+2得,

,

解得 ,

所以,拋物線(xiàn)的解析式為y= x2 x+2


(2)

解:方法一:

拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x= ,

∵四邊形OECF是平行四邊形,

∴點(diǎn)C的橫坐標(biāo)是 ×2=5,

∵點(diǎn)C在拋物線(xiàn)上,

∴y= ×52 ×5+2=2,

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(5,2)

方法二:

∵FC∥x軸,∴當(dāng)FC=OE時(shí),四邊形OECF是平行四邊形.

設(shè)C(t, ),

∴F( , +2),

∴t﹣ = ,

∴t=5,C(5,2)


(3)

解:方法一:

設(shè)OC與EF的交點(diǎn)為D,

∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為(5,2),

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為( ,1),

①點(diǎn)O是直角頂點(diǎn)時(shí),易得△OED∽△PEO,

,

= ,

解得PE= ,

所以,點(diǎn)P的坐標(biāo)為( ,﹣ );

②點(diǎn)C是直角頂點(diǎn)時(shí),同理求出PF= ,

所以,PE= +2= ,

所以,點(diǎn)P的坐標(biāo)為( , );

③點(diǎn)P是直角頂點(diǎn)時(shí),由勾股定理得,OC= = ,

∵PD是OC邊上的中線(xiàn),

∴PD= OC= ,

若點(diǎn)P在OC上方,則PE=PD+DE= +1,

此時(shí),點(diǎn)P的坐標(biāo)為( , ),

若點(diǎn)P在OC的下方,則PE=PD﹣DE= ﹣1,

此時(shí),點(diǎn)P的坐標(biāo)為( , ),

綜上所述,拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上存在點(diǎn)P( ,﹣ )或( , )或( , )或( , ),使△OCP是直角三角形

方法二:

∵點(diǎn)P在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上,設(shè)P( ,t),O(0,0),C(5,2),

∵△OCP是直角三角形,∴OC⊥OP,OC⊥PC,OP⊥PC,

①OC⊥OP,∴KOC×KOP=﹣1,∴ ,

∴t=﹣ ,∴P( ,﹣ ),

②OC⊥PC,∴KOC×KPC=﹣1,∴ =﹣1,

∴t= ,P( , ),

③OP⊥PC,∴KOP×KPC=﹣1,∴ ,

∴4t2﹣8t﹣25=0,∴t=

點(diǎn)P的坐標(biāo)為( , )或( , ),

綜上所述,拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上存在點(diǎn)P( ,﹣ )或( , )或( , )或( , ),使△OCP是直角三角形.


【解析】方法一:(1)把點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式,解方程組求出a、b的值,即可得解;(2)根據(jù)拋物線(xiàn)解析式求出對(duì)稱(chēng)軸,再根據(jù)平行四邊形的對(duì)角線(xiàn)互相平分求出點(diǎn)C的橫坐標(biāo),然后代入函數(shù)解析式計(jì)算求出縱坐標(biāo),即可得解;(3)設(shè)AC、EF的交點(diǎn)為D,根據(jù)點(diǎn)C的坐標(biāo)寫(xiě)出點(diǎn)D的坐標(biāo),然后分①點(diǎn)O是直角頂點(diǎn)時(shí),求出△OED和△PEO相似,根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例求出PE,然后寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)即可;②點(diǎn)C是直角頂點(diǎn)時(shí),同理求出PF,再求出PE,然后寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)即可;③點(diǎn)P是直角頂點(diǎn)時(shí),利用勾股定理列式求出OC,然后根據(jù)直角三角形斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半可得PD= OC,再分點(diǎn)P在OC的上方與下方兩種情況寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)即可.
方法二:(1)略.(2)因?yàn)樗倪呅蜲ECF是平行四邊形,且FC∥x軸,列出F,C的參數(shù)坐標(biāo),利用FC=OE,可求出C點(diǎn)坐標(biāo).(3)列出點(diǎn)P的參數(shù)坐標(biāo),分別列出O,C兩點(diǎn)坐標(biāo),由于△OCP是直角三角形,所以分別討論三種垂直的位置關(guān)系,利用斜率垂直公式,可求出三種情況下點(diǎn)P的坐標(biāo).
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的二次函數(shù)的性質(zhì),需要了解增減性:當(dāng)a>0時(shí),對(duì)稱(chēng)軸左邊,y隨x增大而減;對(duì)稱(chēng)軸右邊,y隨x增大而增大;當(dāng)a<0時(shí),對(duì)稱(chēng)軸左邊,y隨x增大而增大;對(duì)稱(chēng)軸右邊,y隨x增大而減小才能得出正確答案.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】已知:在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線(xiàn)分別交x、y軸于點(diǎn)A、C,點(diǎn)Bx軸負(fù)半軸上,過(guò)點(diǎn)A于點(diǎn)K,若,

如圖1,求點(diǎn)B坐標(biāo);

如圖2,點(diǎn)PAC延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P交直線(xiàn)BC于點(diǎn)Q,設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t,PQ長(zhǎng)為d,求dt的函數(shù)關(guān)系式不必寫(xiě)出自變量t的取值范圍;

的條件下,連接OK,過(guò)點(diǎn)P軸于點(diǎn)H,點(diǎn)FHB上一點(diǎn),連接PF,點(diǎn)DPF上,將點(diǎn)F沿x軸正方向平移個(gè)單位到點(diǎn)G,連接DG,交PH于點(diǎn)E,若,,,求點(diǎn)P坐標(biāo).

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【題目】如圖,⊙O的半徑為4,△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形,連接OB、OC.若∠BAC與∠BOC互補(bǔ),則弦BC的長(zhǎng)為( )

A.3
B.4
C.5
D.6

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【題目】為實(shí)現(xiàn)營(yíng)養(yǎng)套餐的合理搭配,某電商推出兩款適合不同人群的甲、乙兩種袋裝的混合粗糧.甲種袋裝粗糧每袋含有3千克A粗糧,1千克B粗糧,1千克C粗糧;乙種袋裝粗糧每袋含有1千克A粗糧,2千克B粗糧,2千克C粗糧.甲、乙兩種袋裝粗糧每袋成本分別等于袋中的A、B、C三種粗糧成本之和.已知每袋甲種粗糧的成本是每千克A種粗糧成本的7.5倍,每袋乙種粗糧售價(jià)比每袋甲種粗糧售價(jià)高20%,乙種袋裝粗糧的銷(xiāo)售利潤(rùn)率是20%.當(dāng)銷(xiāo)售這兩款袋裝粗糧的銷(xiāo)售利潤(rùn)率為24%時(shí),該電商銷(xiāo)售甲、乙兩種袋裝粗糧的袋數(shù)之比是_____(商品的銷(xiāo)售利潤(rùn)率=×100%)

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【題目】某學(xué)校開(kāi)展課外體育活動(dòng),決定開(kāi)設(shè)A:籃球、B:乒乓球、C:武術(shù)、D:跑步四種活動(dòng)項(xiàng)目為了解學(xué)生最喜歡哪一種活動(dòng)項(xiàng)目每人只選取一種隨機(jī)抽取了m名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查,并將調(diào)查結(jié)果繪成如下統(tǒng)計(jì)圖,請(qǐng)你結(jié)合圖中信息解答下列問(wèn)題:

______;

在扇形統(tǒng)計(jì)圖中“乒乓球”所對(duì)應(yīng)扇形的圓心角的度數(shù)為______;

請(qǐng)把圖的條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整;

若該校有學(xué)生1200人,請(qǐng)你估計(jì)該校最喜歡武術(shù)的學(xué)生人數(shù)約是多少?

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【題目】2018年在中央房子是用來(lái)住的,不是用來(lái)炒的精神作用下房子價(jià)格持續(xù)下跌.玲玲家買(mǎi)了一套新房準(zhǔn)備裝修,若甲、乙兩個(gè)裝飾公司合作,6周完成,共需裝修費(fèi)為5.2萬(wàn)元;若甲公司單獨(dú)做4周后,剩下的由乙公司來(lái)做,還需9周才能完成,共需裝修費(fèi)為4.8萬(wàn)元.玲玲的爸爸媽媽商量后決定只選一個(gè)公司單獨(dú)完成.

(1)如果從節(jié)約時(shí)間的角度考慮應(yīng)選哪家公司?

(2)如果從節(jié)約開(kāi)支的角度考慮應(yīng)選哪家公司?

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【題目】(本題12分)如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,四邊形OABC各頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別O(0,0),A(3, ),B(9,5 ),C(14,0).動(dòng)點(diǎn)P與Q同時(shí)從O點(diǎn)出發(fā),運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒,點(diǎn)P沿OC方向以1單位長(zhǎng)度/秒的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng),點(diǎn)Q沿折線(xiàn)OAABBC運(yùn)動(dòng),在OA,AB,BC上運(yùn)動(dòng)的速度分別為3, , (單位長(zhǎng)度/秒)﹒當(dāng)P,Q中的一點(diǎn)到達(dá)C點(diǎn)時(shí),兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng).

(1)求AB所在直線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式.
(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)Q在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí),求△CPQ的面積S關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式及S的最大值.
(3)在P,Q的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,若線(xiàn)段PQ的垂直平分線(xiàn)經(jīng)過(guò)四邊形OABC的頂點(diǎn),求相應(yīng)的t值.

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【題目】如圖,為了監(jiān)控一不規(guī)則多邊形藝術(shù)走廊內(nèi)的活動(dòng)情況,現(xiàn)已在A,B兩處各安裝了一個(gè)監(jiān)控探頭(走廊內(nèi)所用探頭的觀測(cè)區(qū)域?yàn)閳A心角最大可取到180°的扇形),圖中的陰影部分是A處監(jiān)控探頭觀測(cè)到的區(qū)域.要使整個(gè)藝術(shù)走廊都能被監(jiān)控到,還需再安裝一個(gè)監(jiān)控探頭,則安裝的位置是( )

A.E處
B.F處
C.G處
D.H處

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【題目】某廠(chǎng)家生產(chǎn)的一種新型節(jié)能燈,為了打開(kāi)市場(chǎng)出臺(tái)了相關(guān)政策:由廠(chǎng)家協(xié)調(diào),廠(chǎng)家按成本價(jià)提供產(chǎn)品給經(jīng)營(yíng)戶(hù)自主銷(xiāo)售,成本價(jià)與出廠(chǎng)價(jià)之間的差價(jià)由廠(chǎng)家承擔(dān).李明按照相關(guān)政策投資銷(xiāo)售本產(chǎn)品.已知這種節(jié)能燈的成本價(jià)為每件10元,出廠(chǎng)價(jià)為每件12元,每月銷(xiāo)售量y(件)與銷(xiāo)售單價(jià)x(元)之間的關(guān)系近似滿(mǎn)足一次函數(shù):y=﹣10x+500.
(1)李明在開(kāi)始銷(xiāo)售的第一個(gè)月將銷(xiāo)售單價(jià)定為20元,那么廠(chǎng)家這個(gè)月為他承擔(dān)的總差價(jià)為多少元?
(2)設(shè)李明獲得的利潤(rùn)為w(元),當(dāng)銷(xiāo)售單價(jià)定為多少元時(shí),每月可獲得最大利潤(rùn)?
(3)物價(jià)部門(mén)規(guī)定,這種節(jié)能燈的銷(xiāo)售單價(jià)不得高于25元.如果李明想要每月獲得的利潤(rùn)不低于3000元,那么廠(chǎng)家為他承擔(dān)的總差價(jià)最少為多少元?

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